funções trigonométricas inversas

funções inversas

 dadas as funções trigonométricas inversas:

  arcoseno   arcocosseno   arcotangente

 
  atenção:

     temos, y = cosx      arccos(y) = x  ( lê-se arco cujo cosseno vale y)
                                    (essa é a função inversa)

      Isso é análogo para todas as outras funções inversas.
   

        exemplo: cos45°=  $ \surd $2/2
     
 ''pergunto: qual o arco cujo cos é $ \surd $2/2 ? ( arccos($ \surd $2/2))

    exercícios resolvidos:

       a) sen30° = 1/2 ( qual é o arco cujo seno vale 1/2 )  arcsen ( 1/2 ) = 30°
     
       b) sen60° = $ \surd $3/2  arcsen( $ \surd $3/2) = 60°
     
      c) cos30° = $ \surd $3/2  arccos($ \surd  $3/2) = 30°
   
      d) tg45° = 1  arctg ( 1 ) = 45°

divisão com vírgula

  Quando aprendemos operações da divisão, aprendemos que existe''dois tipos de divisão''; a divisão exata (não haverá resto) e a divisão  não exata (quando exite resto).
  Se dividirmos 8 por  2 teremos uma divisão exata,  pois não haverá resto. por outro lado, se dividirmos 7 por 2 teremos uma divisão  não exata, pois haverá resto.

  

     divisão

representações:

  

exitem algumas maneiras de representar uma divisão

 ( $ \div $ )  (barra com dois pontos é utilizada no ensino fundamental; não usamos essa notação no ensino médio ou no ensino superior )

( / )  ( essa barra é utilizada em notações lineares)

_   

     (barra, usamos em frações; as divisões podem ser expressas na forma de frações )

(:) ( dois pontos, pode representar divisões e proporções )

   nomenclatura

cálculo e nomenclatura:

observe:
1)

1 "quando baixamos o número, devemos dividir"

  "quando colocamos o número zero, dividimos também" 

2 ''quantas casas existem no divisor?

  -uma unica casa!

-pegamos então uma unica casa no dividendo(da esquerda para a direita)!

 se o número fosse menor que o divisor eu pegaria mais uma casa...

para provar que estamos certos, usamos a seguinte regra: 

   

 - qual o número multiplicado por 2 da ou chega perto de dois?

  1 ! pois, 1 x 2 = 2''.

... 

(o dividendo = (divisor x quociente) + resto)

22 = (2 x 11) + 0 

A divisão é exata, quando:

primeiro exemplo
2)

A divisão é exata quando o resto é igual a 0.

3) Essa é uma divisão  não  exata, pois existe um resto. Quando tivermos um resto devemos acrescentar um vírgula no quociente e um zero no fim do resto.

segundo exemplo

A divisão não é exata quando:

 4)  3,6 por 2; o número 3,6 é decimal com um algarismo depois da virgula; o divisor 2 deve ser escrito no mesmo formato que o dividendo(ou seja 2,0). Agora que ambos são escritos no mesmo formato, podemos desconsiderar as virgulas e realizar a divisão de 36 por 20.

primeiro exemplo

   

1) o dividendo 3,6 é decimal com um algarismo depois da virgula, por outro lado, o divisor 2 não é decimal, então devemos escrever o divisor no mesmo formato do dividendo (ou seja 2,0).

2) devemos tirar as virgulas e realizar a divisão 36 por 20.




segundo exemplo

5)  Para realizar essa divisão vamos escrever o dividendo no formato do divisor, ou seja 20 ( em 20,0), assim, quando o dividendo e o divisor tiverem um número apos a vírgula, retiramos as vírgulas e realizamos a divisão de 200 por 25.

resolva os exercícios:

 1) resolva os exercícios e classifique em divisão exata ou não exata.

   a) 200/8 =
   b) 20/2 =
   c) 8/2,3 =
   d)2,10/ 2 =

  respostas:
   a) 25 b) 10 c)3, 478...( aproximado) d) 1,05

logaritmo natural

sistema de logaritmo natural

   
     observação:

 lnx é logaritmo natural de x , que é o correto. Já  aqueles que insistem em nomear estes como logaritmo neperiano; O  logaritmo neperiano, o qual pode ser atribuído a John Neper é o logaritmo cuja base é o número a.

 em que:

=

=  lim_n->∞(1-1/n)ⁿ= 1/e

           

logaritmo natural:

São  os logaritmos na base e (e é um número irracional, cujo valor é  2,71828... que recebe o nome de número de Euler).
. 

      

 ( e pode ser definido usando a notação de limites )    

notação para os logaritmos naturais:

        

            Ln(x) = log_ex    (O logaritmo de x, cuja base é o número "e" é o logaritmo natural de x)

    Nem sempre os dados básicos são suficientes para resolver exercícios envolvendo os logaritmos naturais, por isso irei colocar regras e notações abaixo. 

     
     resultado de algumas expressões:   
         
          Ln e = 1
          Ln 1 = 0
          Ln (eⁿ) = n


 propriedades dos logaritmos naturais 

          primeira propriedade: produto                          
                                       
                      ln (x · y) = ln x + ln y
  
                        
      segunda propriedade: quociente
                     
                     ln (x/y) = ln x - ln y

      terceira propriedade: potência
                    
                     ln (xⁿ) = n . ln x

transformando a base e para a base decimal
               
    considerando o número real positivo x, tal que:  

log_ex = logx/loge
log_ex = logx/0,43
log_ex = 1/0,43 x logx
log_ex = 2,3 x logx

     Essas relações são de extrema importância  para a resolução de exercícios.

logaritmo

Conta ai

   logaritmos

Você já pensou ter que fazer cálculos do tipo 3,25694 * 1,78090 ou 3,25694 : 1,78090 no século XVI. Quanto tempo era necessário para fazer esses cálculos? Provavelmente era uma tarefa muito trabalhosa. Para tornar cálculos desse tipo menos trabalhosos, o escocês John Napier criou os logaritmos. No entanto, hoje em dia, com as calculadoras eletrônicas, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes não é difícil. Mais há cerca de 400 anos atras, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes eram tarefas difíceis, que eram feitas a partir de senos.

    

 Para compreender o que é logaritmo:

Através dos logaritmos, o cálculo das equações exponenciais foi extremamente facilitados, quando as bases não podiam ser facilmente igualadas.

    

     Exemplo:  

temos:

       10^x = 2

  “ Como achar o valor de x ?

    Tento igualar as bases! mais 2 elevado a quanto é igual a 10?

    -Não conseguimos fazer isso de forma direta, então o que nos resta é fazer por tentativas”.

   10^0,5  =  3, 1622 (aproximadamente 3,162, pois 3, 16... vezes ele mesmo é 10)

     “Não da”

   10^0,3 = 1, 9952 ( 0,3 é uma potência que se aproxima do 2; dessa forma iremos descobrir um expoente extremamente próximo de 2)

   10^0,3010  = 2

  foi difícil achar esse resultado? na minha opinião sim!

Por esse motivo e outros, surgiu os logaritmos (e algumas tabelas) para facilitar o cálculo de equações exponenciais com maior complexidade.

      

 Logaritmo é um número, perceba que esse número é um expoente.

   

 O logaritmo de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função de domínio e imagem, bijetora e contínua que retorna o expoente na equação bⁿ = x. Usualmente é escrito como Log_b x = n.

    definição:

 x e b são números reais positivos com b diferente de 1. Assim, chamamos de logaritmo de x na base b o expoente n tal quebⁿ = x.

      temos: Log_b x = n=> bⁿ = x

nomenclatura

Tabela 1

Forma logarítmica	Forma exponencial
Loga b = c   c – logaritmo a – base do logaritmo b – logaritmando	ac = b b – potência a – base da potência c- expoente

  Exemplo:

1)      Log₂ 4 = x  => 2^x = 4  => x =2

para achar o  valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

      Igualando as bases temos:

   2^x = 4  => 2^x =  2²

2)      Log₂ 16 = x  => 2^x = 16 => x = 4

Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

   Igualando as bases temos:

    

2^x = 16 => 2^x =  2⁴

3)      Log₂ 1 = x  =>2^x = 1 => x = 0

 Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

   Igualando as bases temos:

    

2^x = 1 => 2^x =  2⁰

                               4) Log_1\2 32 = x  => 1\2^x = 32 => x = -5

                                       

 Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

   Igualando as bases temos:

    

                                              (1\2)^x = 32=> (1\2)^x = (1\2)^-5  => x = -5

Propriedades operatórias dos logaritmos:

Primeira propriedade: Produto é igual a soma dos logaritmos.

       

    loga(bc) = loga b+logac

Segunda propriedade: quociente é igual a diferença dos logaritmos. 

   loga (b\c) = logab – logac

Terceira propriedade: potência é igual ao expoente vezes o logaritmo

     Logab = n.logab

quarta propriedade: raiz u-ésima de um número 

Loga n√m = 1\n Logam

  

 O sistema de logaritmos decimais (ou logaritmo de Briggs) e o sistema de  logaritmos naturais destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências.

logaritmos decimais

O logaritmos de base 10 também são chamados de logaritmos de briggs, por ter sido inglês henry briggs (1561-1631) foi o primeiro a usar o número 10 para a construção de tábuas de logaritmos. 

     

  notação para os logaritmos decimais:

        log10b = logb

 log b = x, não é necessidade colocar a base 10. 

sistema de logaritmos naturais 

 são  os logaritmos na base e (e é um número irracional, cujo valor é  2,71828... que recebe o nome de número de Euler). 

      

       notação para os logaritmos naturais:

        

           logeb = lnb

uma relação importante

cologaritmo de um número 

 O cologaritmo de um número numa base dada é o oposto do logaritmo nessa mesma base.

cologax = - logax 

Referência:

MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Natal: SBHMat, 2002.

grandezas físicas e unidades

   
o sistema internacional de unidades 
     

        Com o crescimento do comércio e o avanço científico, tornou-se necessário um sistema único de unidades, que pudesse ser compreendido por todos. O Sistema Internacional de Unidades foi desenvolvido com o objetivo de unificar as grandezas utilizadas ao redor do mundo e facilitar a comparação de resultados obtidos em regiões diferentes. Durante um longo tempo, cada região, cada país, teve o seu próprio sistema de medidas. As quantidades eram medidas através de unidades pouco confiáveis.

    conta ai!

       

      O sistema métrico decimal teve origem na época da revolução francesa. Na data de 22 de julho de 1799. Na La Republique, em Paris, foram colocados no Archives o " metro e o " quilograma". Esse foi o passo para o inicio de um sistema de unidades com coerência que facilitou o  intercâmbio cientifico e o comercio entre os povos. Essa foi também uma maneira de confrontar os resultados de cientistas, em diferentes partes do mundo.

          O SI( do francês systéme international d'unités ) o sistema internacional de unidades é baseado no sistema métrico. O SI é um conjunto sistematizado e padronizado de definições para unidades de medida,o qual, usamos em quase todo o mundo moderno, que tende a uniformizar e facilitar as medições e as relações internacionais decorrentes. Em 1960 O SI foi desenvolvido derivado do antigo sistema metro-quilograma-segundo; não do sistema centímetro-grama-segundo, por ter algumas variações. Por não ser estático, o SI, as unidades são criadas e as definições são modificadas por meio de acordos internacionais entre as nações conforme a tecnologia de medição avança e a precisão das medições aumenta.

   

primeiros padrões

     Não pense que tudo sempre foi bonito e sem confusão. Civilizações antigas começam a padronizar as unidades de medidas já na Antiguidade. As medições não eram muito precisas. Ate atingir os padrões atuais muitos outros sistemas foram usados.  Por exemplo, o côvado egípcio, era uma medida de comprimento cujo padrão relacionava a distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio, o braço e o antebraço estando dobrados em ângulo reto e a mão esticada. uma passada representava a milha; a distancia dos passos. Vários povos antigos usavam o côvado como medida entre eles: os  Egípcios, hebreus e babilônicos.

        Amostra de pesos e medidas antigos:

    (alguns) pesos e medidas

gera	1/20 do siclo	0,57 gramas de prata
siclo	Unidade básica	11,4 gramas de prata
Libra de prata	50 ciclos	570 gramas de prata
talento		34 quilos

    

     (alguns) Medidas lineares

Palmo menor	Largura da mão	7,5 centímetros
palmo	Do polegar ao dedo	22,5 centímetros
côvado	Do cotovelo à ponta dos  dedos	45 centímetros
cana		cerca de 3 metros

Muitas dessas medidas eram baseadas em partes do corpo humano.

     o cúbito, pés e o palmo. o cúbito padronizado pelos sumérios era diferente do cúbito egípcio, e ambos diferiam do cúbito assírio. Observe:

Cúbito sumério = 49,5 cm
Cúbito egípcio = 52,4 cm
Cúbito assírio = 54,9 cm    
      As relações entre pés dizia que 10 pés romanos eram equivalentes a poucos menos que 9 pés do norte.

Pé romano = 29,6 cm
Pé comum = 31,7 cm
Pé do Norte = 33,6 cm

        o palmo. o palmo era utilizado pelos povos egípcios correspondia à sétima parte do cúbito. o palmo ainda é usado no dia a dia e medições rusticas. 
    Entretanto, o uso de partes do corpo fez surgir alguns problemas: As pessoas são diferentes e, portanto, as medidas serão diferentes. Como o comércio funcionaria de maneira justa? Como trocar mercadorias? Surge a necessidade de padronizar!

sistemas inglês e norte-americano

        falta! 

grandezas

       Grandeza é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas nos estudos da natureza (em sentido amplo). Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas. Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe um unidade padrão. Unidades de medidas  é um quantidade específica de uma determinada grandeza física e serve de padrão para comparações, as quais, usamos de padrão para outras medidas.

unidades

       

        Unidade de medida é uma medida (ou quantidade) específica de determinada grandeza física usada para servir de padrão para outras medidas. 

Grandezas físicas e unidades 

     
Sete grandezas e unidades básicas do si

               (tabela)1

grandezas	símbolos	unidades	símbolos	definição das unidades
comprimento		metro	m
Massa	m	quilograma	kg	1= a massa do protótipo internacional do quilograma
tempo	t	segundo	s	1 s é a duração de 9192631770 períodos da radiação da transição      entre 2 níveis..
intensidade de corrente	I	Ampère	A
temperatura	t	kelvin	K
Quantidade de matéria	n	mol (mole)	mol	a mol é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades elementares quanto os átomos que existem em 0,012 kg de 12C (1971).
Intensidade luminosa	Iv	candela	cd

      Grandezas e unidades suplementares

     (tabela)2

Grandezas física	símbolos	unidades	símbolos	Definição das unidades
Ângulo plano		Radiano	rad	1 rad é o ângulo compreendido entre 2 raios que interceptam   Um arco do comprimento igual ao do raio do circulo.
Ângulo sólido		Esterradiano	sr	1sr é o ângulo sólido...

veja também

ordens de grandezas (grandezas física e unidades) parte 3

prefixos dos múltiplos e submúltiplos das unidades ( grandezas física e unidades) parte 4