NOSSO MENU

Mostrando postagens com marcador Igualdade. Mostrar todas as postagens
Mostrando postagens com marcador Igualdade. Mostrar todas as postagens

sábado, 15 de agosto de 2015

Equações do 1º grau com uma incógnita

Equações do 1º grau com uma incógnita


Introdução às igualdades 

  A expressão: 10 - 2 + 6 - 2 envolve apenas números. Essa expressão é uma expressão Aritmética. 
 Você já deve ter conhecido as operações fundamentais e suas propriedades. A parte da matemática que trabalha com essas expressões é a Aritmética.

  As expressões: 

a)2x + 3 o dobro de um número é somado a 3
b)x + 2x + 2 um número adicionado ao dobro de outro número somado a 2

 Muitas vezes somos obrigados a combinar letras com números. Essa parte da matemática em que usamos letras é chamada de Álgebra.

Sentença matemática

 No cotidiano usamos sentenças para nos comunicar em conversas e na linguagem escrita. 
 Na matemática, também usamos sentenças, para fazer afirmações sobre números. Em sentenças matemáticas, usamos símbolos no lugar de palavras. A seguir são apresentados alguns símbolos:

= ( igual a )   ≠  ( diferente de )   > ( maior que ) < ( menor que )

Igualdade

 Denominamos de  membro os termos da igualdade que aparecem à esquerda do sinal da igualdade, o  membro, os termos à direita do sinal da igualdade.

 exemplo: 
3 + 2 = 5       3 + 2 ( primeiro membro )  e  5 ( segundo membro )

princípios 

1) Quando adicionamos aos dois membros de uma igualdade um mesmo número, obtemos uma nova igualdade.

    exemplo: 

3 + 2 = 5  quando adicionamos o número 2 na expressão (3 + 2) + 2 = (5) + 2 
obtemos respectivamente 7 no primeiro membro e 7 no segundo membro
   
 2) Quando  multiplicamos os dois números da igualdade por um mesmo número, diferente de zero, obtemos uma nova igualdade.
     
   exemplo :

3 + 2 = 5 quando multiplicamos os dois membros por 2 na expressão (3 + 2)2 = (5)2
obtemos respectivamente 10 no primeiro membro e 10 no segundo membro 

equação de  grau: definição

   Equação  é toda sentença matemática representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam o valor de um termo desconhecido, que será representado por uma letra(incógnita), cuja representação mais usual se dá por x, y e z. O prefixo equa, em latim quer dizer "igual". 

equação  geral do primeiro grau:

ax + b = 0  
 (a e b são números conhecidos e a ≠ 0)
subtraindo b dos dois lados obtemos:
ax = -b
agora dividimos por a os dois termos:
x = -b
       a
    conjunto universo e conjunto verdade de uma equação
       
        1 Considere o conjunto = {0, 1, 2, 3, 4,} e a equação 3 + x = 6.
          O número 3 do conjunto b é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa equação.

          2 Os números inteiros que satisfazem a equação x² = 4
          O conjunto dos números inteiro é o conjunto universo da equação.
          Os números -2 e 2, que satisfazem a equação, formam o conjunto verdade, podendo ser indicado por: V = {-2, 2}.  

   observe:
   O conjunto de todos os valores que a variável pode assumir  é o Conjunto Universo. 
   O conjunto dos valores de U, que tornam a equação verdadeira é o Conjunto verdade. 
   O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

   O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

   raízes da equação
        As raízes da equação são os elementos do conjunto verdade   .
    Para verificar se um número é raiz de uma equação:
           
         Substituímos a incógnita por esse número;
         Damos os valores de cada membro da equação;
         Verificamos a igualdade, se for uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.
          
       exemplos:
qual dos elementos do conjunto B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, } podemos colocar no lugar da letra x para torna a sentença verdadeira 2 + x = 4 ?

2 + x = 4   = 2 + (0) = 4 F
2 + x = 4   = 2 + (1) = 4 F
2 + x = 4   = 2 + (2) = 4 V
2 + x = 4   = 2 + (3) = 4 F

Observe o elemento é o número 2; pois os outros não tornam a sentença verdadeira.

Nas equações temos: 

1) Uma ou mais letras indicando valores desconhecidos, que são denominadas variáveis ou incógnitas;
2) Um sinal de igualdade, denotado por =.
3) Uma expressão à esquerda da igualdade, denominada primeiro membro e uma expressão à direita da igualdade, denominada segundo membro.

 exemplos:
a) equação com uma incógnita representada pela letra x.
   
 10x + 5 = 10 

b) equação com uma incógnita representada pela letra y.
    
 12 + 2x = 14

c) equação com duas incógnitas representas pelas letras x e y. 
   
   y - x = 12  

não são equações:

a) 2² - 3 = 4 - 3 embora seja uma igualdade não apresenta incógnitas 
b) 2² -3 = 2² - 3 embora seja uma igualdade não apresenta incógnitas
c) 2 + x  > 12 embora apresente elementos desconhecidos, não apresenta uma igualdade

 resolução de equação do  grau com uma incógnita: 
A resolução de uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

exemplo 1:
  para resolver uma equação: Insolamos no  membro os termos da equação que apresentam a incógnita e, no  membro, os termos que não apresentam a incógnita.

veja:
se U = Q ( Q - Conjunto dos números Racionais = todo numero que pode ser escrito na forma a/b, com a , b pertencente ao conjunto Z e b diferente de 0 ; frações, números decimais...)

3x + 5 = 2 - 2x
3x + 2x = 2 - 5   3x + 2x primeiro membro  2 - 5 segundo membro 
5x = -3                           
x = -3                           
      5
 -3   Q, então V = -3
  5                          5
1 (3x + 2x = 5x  é o  1° membro apresentando os termos da equação com incógnitas)
2 (2 - 5 = -3 é o  membro apresentando os termos da equação que não apresentam incógnitas)
3 ( 3x + 2x = 2 - 5 = 5x = -3 aplicamos as operações indicadas entre os termos semelhantes)
4 ( x = - 3/5 O coeficiente numérico da letra x do  membro deve passar para o outro lado, dividindo o elemento do  membro da equação)

 
para saber se a sentença é verdadeira 
 É  feita substituindo o valor de x na equação, observe: 

3x + 5 = 2 - 2x
substituindo x = -3/5 => -0,6 
3(-3/5)+ 5 = 2 - 2(-3/5)
3,2 = 3,2      sentença verdadeira 

Todas as equações podem ser resolvidas dessa maneira. 


exemplo 2:
2x – 2x + 5 = 5 + 2x – 20 
2X - 2X -2X = 5 - 5 -20   
-2X = -20
X = -20
       -2
X = 10

  2x - 2x - 2x primeiro membro  5 - 5 - 20 segundo membro  Insolamos no  membro os termos da equação que apresentam a incógnita e, no 2° membro, os termos que não apresentam a incógnita.

para saber se a sentença é verdadeira 
 É  feita substituindo o valor de x na equação, observe: 
2X - 2X + 5 = 5 + 2X -20
substituindo x = 10
-2.10 = -20
-20 = -20 sentença verdadeira

exemplo 3:  
 2 . (4x - 4) = 3 . (3x - 1).      → aplicar a propriedade distributiva da multiplicação 
 2 . 4x - 2  . 4 = 3 . 3- 3 . 1
8x - 8 = 9x - 3 
8x - 9x = - 3 + 8 
-x = 5
x = -5 

para saber se a sentença é verdadeira 
 É  feita substituindo o valor de x na equação, observe:  
2 . 4x - 2  . 4 = 3 . 3- 3 . 1
substituindo x = -5
8(-5) - 8 = 9(-5) - 3 
-40 - 8 = - 45 - 3
-48 = -48




Exercícios resolvidos; Equação de primeiro grau 

1) resolva os exercícios abaixo:
a) Encontre o conjunto solução da equação 5x + 8 = 18.

5x + 8 = 18
5x = 18 - 8 os elementos que tem incógnitas no primeiro membro; os que não tem incógnitas no segundo      membro
5x = 10
x = 10   = 2
       5                          
portanto: S = {2} 
                        
b) Encontre a raiz da equação 8x -12 = - 4x .

8x -12 = -4x
8x + 4x = 12
12x =  12
x =  12    = 1
       12                          
portanto: a raiz é  1
                            
c) U = {4,6,8 } é o cojunto universo da equação 5x - 10 = 0. qual é o conjunto verdade(ou conjunto solução)  desta equação?

5x - 10 = 0
5x = 10
x = 10
      5
x = 2
portanto:  U não é o conjunto universo da equação.

d) Encontre o conjunto verdade da equação 4x = -6 + 2x .

4x = -6 + 2x
4x -2x = -6
2x = -6
x =  -6
        2
x = -3
portanto: V = { -3 } é o conjunto solução da equação. 

e) -6 é raiz da equação x + 10 = 4?

x + 10 = 4
x = 4 -10
x = -6

portanto: sim, pois -6 é raiz da equação.

2) exercícios:

a) Dada a equação x + 6 = 2(x -2). Como descobrir x ?
    x + 6 = 2(x - 2)
    x + 6 = 2x - 4 pela propriedade da distributiva
    x - 2x = -4 -6
   -x = -10
    x = 10  

portanto: o valor de x é 10.


por: Dan. S.

Redes Sociais

anuncios