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terça-feira, 8 de julho de 2014

logaritmo


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   logaritmos

Você já pensou ter que fazer cálculos do tipo 3,25694 * 1,78090 ou 3,25694 : 1,78090 no século XVI. Quanto tempo era necessário para fazer esses cálculos? Provavelmente era uma tarefa muito trabalhosa. Para tornar cálculos desse tipo menos trabalhosos, o escocês John Napier criou os logaritmos. No entanto, hoje em dia, com as calculadoras eletrônicas, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes não é difícil. Mais há cerca de 400 anos atras, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes eram tarefas difíceis, que eram feitas a partir de senos.
    
 Para compreender o que é logaritmo:


Através dos logaritmos, o cálculo das equações exponenciais foi extremamente facilitados, quando as bases não podiam ser facilmente igualadas.
    
     Exemplo:  

temos:
       10= 2
  “ Como achar o valor de x ?
    Tento igualar as bases! mais 2 elevado a quanto é igual a 10?
    -Não conseguimos fazer isso de forma direta, então o que nos resta é fazer por tentativas”.
   100,5  =  3, 1622 (aproximadamente 3,162, pois 3, 16... vezes ele mesmo é 10)
     “Não da”
   100,3 = 1, 9952 ( 0,3 é uma potência que se aproxima do 2; dessa forma iremos descobrir um expoente extremamente próximo de 2)
   100,3010  = 2
  foi difícil achar esse resultado? na minha opinião sim!
Por esse motivo e outros, surgiu os logaritmos (e algumas tabelas) para facilitar o cálculo de equações exponenciais com maior complexidade.
      
 Logaritmo é um número, perceba que esse número é um expoente.
   
 O logaritmo de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função de domínio e imagem, bijetora e contínua que retorna o expoente na equação b= x. Usualmente é escrito como Logb x = n.
    definição:
 x e b são números reais positivos com b diferente de 1. Assim, chamamos de logaritmo de x na base b o expoente n tal queb= x.
      temos: Logb x = n=> b= x

nomenclatura

Tabela 1
Forma logarítmica
Forma exponencial
Loga b = c  

c – logaritmo
a – base do logaritmo
b – logaritmando
a= b

b – potência
a – base da potência
c- expoente

  Exemplo:


1)      Log2 4 = x  =2= 4  => x =2

para achar o  valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.
      Igualando as bases temos:

   2= 4  => 2=  22

2)      Log2 16 = x  => 2= 16 => x = 4
Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.
   Igualando as bases temos:
    
2= 16 => 2=  24
3)      Log2 1 = x  =>2= 1 => x = 0

 Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.
   Igualando as bases temos:
    
2= 1 => 2=  20

                               4) Log1\2 32 = x  => 1\2= 32 => x = -5
                                       
 Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.
   Igualando as bases temos:
    
                                              (1\2)= 32=> (1\2)= (1\2)-5  => x = -5


Propriedades operatórias dos logaritmos:


Primeira propriedade: Produto é igual a soma dos logaritmos.
       
    loga(bc) = loga b+logac

Segunda propriedade: quociente é igual a diferença dos logaritmos. 

   loga (b\c) = logab – logac


Terceira propriedade: potência é igual ao expoente vezes o logaritmo

     Logab = n.logab


quarta propriedade: raiz u-ésima de um número 


Loga n= 1\n Logam
  

 O sistema de logaritmos decimais (ou logaritmo de Briggs) e o sistema de  logaritmos naturais destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências.

logaritmos decimais

O logaritmos de base 10 também são chamados de logaritmos de briggs, por ter sido inglês henry briggs (1561-1631) foi o primeiro a usar o número 10 para a construção de tábuas de logaritmos. 
     
  notação para os logaritmos decimais:

        log10b = logb

 log b = x, não é necessidade colocar a base 10. 

sistema de logaritmos naturais 

 são  os logaritmos na base e (e é um número irracional, cujo valor é  2,71828... que recebe o nome de número de Euler). 
      
       notação para os logaritmos naturais:
        

           logeb = lnb
uma relação importante

















cologaritmo de um número 


 O cologaritmo de um número numa base dada é o oposto do logaritmo nessa mesma base.



cologax = - loga





Referência:
MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Natal: SBHMat, 2002.



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