Lei
dos Cossenos
A Lei dos Cossenos é
uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que
estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois
catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa,
que é o lado oposto ao ângulo reto.
A Lei dos Cossenos
mostra que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à
soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois
lados pelo cosseno do ângulo entre eles.
Considere um
triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:
Observe que: O
quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas
vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por
eles ( para qualquer triângulo).
Exemplos:
1) Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do
segmento x.
a² = b² + c² – 2 * b
* c * cosalfa
6² = x² + 5² – 2 * 5
* x * cos60º
36 = x² + 25 – 10* x
* 0,5
36 = x² + 25 – 5x
x² –5x +25 -36 = 0
x² –5x - 11 = 0
Observe que x² –5x -
11 = 0 é uma equação do segundo grau, então vamos usar o método resolutivo da
equação do segundo grau.
x’ = 13,3 e x” = –
3,3, como se tratar de medidas descartamos x” = –3,3 e utilizamos x’ = 13,3.
Dessa forma o valor de x no triângulo é 13,3 cm
obs: utilizei o
método de de completar quadrados para encontrar as raízes da equação do segundo
grau.
2)
um triângulo ABC, temos as seguintes
medidas: AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 4cm. Determine a medida do ângulo A.
Usando a lei dos cossenos
Lembrando que:
a = 6, b =5 e c = 4
6² = 5² + 4² – 2 * 5 * 4 * cos A
36 = 25 + 16 – 40 * cos A
36 – 25 – 16 = –40 * cos A
–5 = –40 * cos A
-5/-40 = cos A (“ - com – na divisão é igual a +”)
cos A = 0,125
observação: O ângulo que possui cosseno com valor
aproximado de 0,125 mede aproximadamente 83 graus ( 83 graus = 0,1219).
Por: Dan. S.
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