Polígonos regulares/ triângulo equilátero inscrito e circunscrito

Polígonos regulares/ triângulo equilátero inscrito e circunscrito

Polígonos regulares/ quadrado inscrito e circunscrito

Polígonos regulares/ quadrado inscrito e circunscrito

Como determinar o raio e o centro da circunferência quando é conhecia a equação da circunferência?

Como determinar o raio e o centro da circunferência quando é conhecia a equação da circunferência?

Por exemplo: Determine o centro e o raio da circunferência de equação x^2 +y^2 – 4x – 4y + 4 = 0.

x^2 +y^2 – 4x – 4y + 4 = 0   passa a ser x^2 – 4x +y^2 – 4y  = -4

obs: os elementos que tem x ficam com os que tem x (x^2 – 4x ) e os elementos que tem y ficam com os elementos que tem y(y^2 – 4y ) e os elementos constantes (4  obs: lembrando que quando um elemento muda de lado em uma equação ele passa para o outro lado mudando de sinal) passam para o segundo membro da equação.

x^2 – 4x +y^2 – 4y  = -4   escreva essa equação na seguinte configuração

x^2 – 4x +         +y^2 – 4y +        = -4+        +

obs: vamos usar o método de completar quadrados.

Para   x^2 – 4x +       multiplique -4 ( o coeficiente de x ) por 1/2

-4.1/2 = -2 e depois eleve o resultado dessa multiplicação ao quadrado

 -2^2 = 4

Para y^2 – 4y multiplique -4 ( o coeficiente de y ) por 1/2

-4.1/2 = -2 e depois eleve o resultado dessa multiplicação ao quadrado -2^2 = 4

Agora reescreva a equação x^2 – 4x +         +y^2 – 4y +        = -4+        +

Somando os resultados 4 aos elementos de x e 4 aos elementos de y e somando 4 + 4 na parte constante.

Fica assim:  x^2 – 4x +    4     +y^2 – 4y +   4     = -4+   4     + 4

=  x^2 – 4x +  4 +y^2 – 4y +  4  =  4 temos os seguintes quadrados perfeitos

(x – 2)^2 + (y – 2)^2 = 2^2

Assim a circunferência terá raio centro C ( 2,2) e raio 2.

Faça o processo acima para as seguintes equações:

1)    X^2 + y^2 -6x -4y + 12= 0

2)    X^2 + y^2 + 10 =

3)    X^2+y^2 -2x + 4y – 4 =0

  

trigonometria

lei-senos-e-dos-cossenos

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Ângulos notáveis

Ângulos notáveis

Consideramos os ângulos 30°, 45° e 60° como ângulos notáveis por aparecerem frequentemente em cálculos.

Os ângulos notáveis são obtidos da seguinte forma:

Dado um triângulo equilátero ABC, cujos lados medem l e alturas medem h. 

 

Através do uso do teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ADC, obtemos as seguintes relações:

Dado um quadrado ABCD, cujos lados medem l e a diagonal mede d. 

 

Através do uso do teorema de Pitágoras no triângulo  ABC, obtemos as seguintes relações:

Através  das relações acima, pode-se construir  a seguinte tabela (tabela de ângulos notáveis):

Arquivo em: matemática 

retas concorrentes

Retas concorrentes

 (resposta rápida)

Em  geometria euclidiana, são chamadas de concorrentes as retas de um plano que têm um único ponto comum, consequentemente suas direções são diferentes, não 

havendo paralelismo entre elas.

                                                     Fonte: wikipedia

Há uma caso particular, as retas perpendiculares, que se interceptam a 90 graus, ou seja, um ângulo reto.

Arquivo em: respostas rápidas 

Mediana, Bissetriz e altura de um triângulo

Mediana, Bissetriz e altura de um triângulo

Todos os triângulo possuem lados, vértices, ângulos externos e ângulos internos.  Nos triângulos , também determinamos outros elementos mais notáveis, como mediana, bissetriz e altura.

Mediana, Bissetriz e Altura

Mediana

A Mediana caracteriza-se pelo segmento que tem uma de suas extremidades no vértice do triângulo e a outra no ponto médio do lado oposto, desse triângulo. Tal segmento divide o lado oposto ao vértice de sua origem em duas partes iguais (congruentes).

Veja:

Obs:

1  -  CD é segmento de reta com extremidades no vértice C e no ponto médio D, , podemos dizer que o segmento CD é a mediana do triângulo acima.

2  -  A, B e C são os vértices do triângulo.

Bissetriz

A Bissetriz é um segmento de reta com origem em um dos vértices do triângulo com a outra extremidade no lado oposto ao vértice. Ela divide ao meio o ângulo correspondente ao vértice.  

Veja:

Obs:

AD é um segmento de reta que dividiu o ângulo  em duas partes iguais.

Altura

A  altura de um triângulo é dada através de um segmento de reta com

origem em um dos vértices e perpendicular, ou seja, forma um ângulo de 90º ao lado oposto. 

A altura dos triângulos retângulo, acutângulo,  obtusângulo

Altura do triângulo retângulo

Obs:

O segmento AB representa a altura triângulo.

Altura do triângulo acutângulo

Obs:

O segmento AH tem origem no vértice A e é perpendicular ao lado BC; AH é a altura do triângulo.

Altura do triângulo obtusângulo

 Obs:

A base AB do triângulo foi prolongada formando o segmento BD.

O segmento CD é a altura do triângulo.

Por: Dan. S.

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Lei senos e dos cossenos

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto.

A Lei dos Cossenos mostra que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Observe que: O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles ( para qualquer triângulo).

Exemplos:

1)   Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x.

a² = b² + c² – 2 * b * c * cosalfa

6² = x² + 5² – 2 * 5 * x * cos60º

36 = x² + 25 – 10* x * 0,5

36 = x² + 25 – 5x

x² –5x +25 -36 = 0

x² –5x - 11 = 0

Observe que x² –5x - 11 = 0 é uma equação do segundo grau, então vamos usar o método resolutivo da equação do segundo grau.

x’ = 13,3 e x” = – 3,3, como se tratar de medidas descartamos x” = –3,3 e utilizamos x’ = 13,3. Dessa forma o valor de x no triângulo é 13,3 cm

obs: utilizei o método de de completar quadrados para encontrar as raízes da equação do segundo grau.

2)   um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 4cm. Determine a medida do ângulo A.

Usando a lei dos cossenos

Lembrando que:

a = 6, b =5 e c = 4

6² = 5² + 4² – 2 * 5 * 4 * cos A

36 = 25 + 16 – 40 * cos A

36 – 25 – 16 = –40 * cos A

–5 = –40 * cos A

-5/-40 = cos A (“ - com – na divisão é igual a +”)

cos A = 0,125

observação: O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,125 mede aproximadamente 83 graus ( 83 graus = 0,1219). 

Lei dos Senos

A Lei dos Senos, determina que em um triângulo, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo, ou seja, a Lei dos Senos demostra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.

 Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:

Observação: quando o  triângulo não for retângulo, ou seja, com ângulo interno de 90º,  e  acutângulos , com ângulos menor que 90º ou obtusângulos , com ângulos maiores que 90º, devemos utilizar as Leis dos Senos e dos Cossenos.

Exemplo:

1)    Determine o valor de x no triângulo a seguir.

Observe que : sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865

sen45º = √2/2 ou 0,705.

Por: Dan. S.

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Lei dos Cossenos

Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto.

A Lei dos Cossenos mostra que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:

Observe que: O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles ( para qualquer triângulo).

Exemplos:

1)   Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x.

a² = b² + c² – 2 * b * c * cosalfa

6² = x² + 5² – 2 * 5 * x * cos60º

36 = x² + 25 – 10* x * 0,5

36 = x² + 25 – 5x

x² –5x +25 -36 = 0

x² –5x - 11 = 0

Observe que x² –5x - 11 = 0 é uma equação do segundo grau, então vamos usar o método resolutivo da equação do segundo grau.

x’ = 13,3 e x” = – 3,3, como se tratar de medidas descartamos x” = –3,3 e utilizamos x’ = 13,3. Dessa forma o valor de x no triângulo é 13,3 cm

obs: utilizei o método de de completar quadrados para encontrar as raízes da equação do segundo grau.

2)   um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 4cm. Determine a medida do ângulo A.

Usando a lei dos cossenos

Lembrando que:

a = 6, b =5 e c = 4

6² = 5² + 4² – 2 * 5 * 4 * cos A

36 = 25 + 16 – 40 * cos A

36 – 25 – 16 = –40 * cos A

–5 = –40 * cos A

-5/-40 = cos A (“ - com – na divisão é igual a +”)

cos A = 0,125

observação: O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,125 mede aproximadamente 83 graus ( 83 graus = 0,1219). 

Por: Dan. S.

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