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segunda-feira, 16 de fevereiro de 2015

o numero pi

O NÚMERO PI

Oi pessoal !

O NÚMERO PI ( um breve resumo). A letra grega pi, foi designada para o número  a partir da palavra  “ pieµƐtpoc ” (palavra  grega para perímetro), provavelmente  por Wiliam Janes em 1706, entretanto, os créditos pela popularidade de pi é de Leonhard Euler alguns anos mais tarde.
Na matemática, pi é uma proporção numérica entre o perímetro de uma circunferência e seu diâmetro.
Dessa maneira, poderemos igualar as razões entre os perímetros dos círculos e os seus respectivos diâmetros. Tal proporcionalidade permite escrever que o perímetro de uma roda qualquer, dividido pelo seu diâmetro, é igual ao perímetro de uma moeda dividido pelo diâmetro dessa mesma moeda: 

Veja a relação.














Se uma circunferência tem perímetro a e um diâmetro b, então pi é igual a a/b.
Outros nomes para esse fantástico número é número de Euler  e constante circular.

Curiosidade sobre a notação.

Wiliam Jones foi o primeiro a utilizar a definição que usamos hoje ( de pi), entretanto,  não ouve aceitação da notação pela comunidade cientifica, isso só ocorreu após Leonhard Euler utiliza-la.

Obs:

  PI é um número irracional, que não pode ser escrito como um número finito ou repetindo decimais. O valor aproximado é 3,14 (que mais usamos). 

Na outra postagem vamos falar sobre a aproximação de pi. 


operações com fração/adição/subtração/multiplicação/divisão


FRAÇÃO

Oi pessoal!

Vamos ver um pouco de operações com frações.
                                                      
OPERAÇÕES COM FRAÇÕES

1       Adição de frações  com denominadores iguais.

*Soma-se os numeradores
*Mantem-se  o denominador


EXEMPLO A:

Ex a.

1/3 + 2/3 = 3/3 = 1 ( foi somado os numeradores e mantido  o denominador )


Em que 1 e 2 são os numeradores e 3 é o denominador

Ex a1.

2/6 + 3/6 = 2+3 / 6 = 5/6

Ex a2.

1/2  + 1/2  = 1 +1 / 2 = 1



2     Subtração de frações de denominadores iguais .

 *subtraímos  os numeradores
 * mantemos o denominador

EXEMPLO B:

Ex  b.

4/8 – 3/8 = 1/8  (foi subtraído os numeradores e mantido o denominador)

 Em que 4 e 3 são os numeradores e 8 é o denominador.

Ex  b1.

5/6 – 2/6 = 3/6 

Em que 5 e  2 são os numeradores e 8 é  o denominador .


ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES DE DENOMINADORES DIFERENTES

c.

1/2 + 1/3 = ? ( como resolver? )

 Como as frações tem denominadores diferentes,  a identificação da fração total resultante  se torna mais difícil, mais podemos encontrar frações equivalentes a cada uma  delas que tenham denominadores iguais.

 Veja o exemplo A :

Ex d.

1/2 + 1/3  =  ( vamos usar equações equivalentes para encontrar a fração resultante)

1/2  + 1/3  =  3/6 + 2/6  = 5/6

As frações equivalentes a 1/2  e 1/3 são respectivamente 3/6 e 2/6.
           
Ex d1.

            2/3 + 1/5 = 10/15 + 3/15 = 13/15

Outra maneira de somar duas frações com denominadores diferentes é tirar o mmc dos denominadores .


Veja:

Ex  e.

1/3 + 1/2 = 5/6

Fazendo o mmc  de 2 e 3, obtemos 6.

veja a figura.















Essa é uma maneira alternativa.

SOMA E SUBTRAÇÃO DO TIPO

a)     = 1 – 1/6  = ? e b) = 7 + 5/6  = ?

Uma alternativa e multiplicar o denominador pelo numero inteiro e subtrair os numeradores ou somar no caso da adição, mantendo sempre o denominador.

Ex f.

1 – 1/6 = 5/6

veja  a figura f.
















Multiplicamos o denominador 6  por 1 e em seguida subtraímos o 1 de 6.


Ex f2.

7 + 5/6  = 42 + 5/6 = 47/6

veja a figura f2.



















Multiplicamos o denominador 6 por 7 e em seguida somamos 5  a 42.


MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES


Na multiplicação de frações, multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores .

Exemplos :

Ex a.

2 x 1/3 = 2/3

Ex b1.

1/3  x  2/4 = 2/12 = 1/6

Ex c1.

1/3 x 2/5 x 6/7 = 12/105 =  4/35 ( na forma irredutível )

A forma irredutível é aquela que não é possível simplificar mais

Ex.

3/4  ( não da pra simplificar )



INVERSA DE UMA FRAÇÃO


Observe alguns produtos:

Ex a2.

1/3 x 3/1  = 3/3 =1

Ex b2.

3/5 x 5/3 = 15/15 1

Observando esses produtos, concluímos que, quando o produto de duas frações é igual a 1 ( nesse caso), essas frações são inversas uma da outra.

( obvio )


DIVISÃO DE FRAÇÕES


Exemplo A:

Figura a3.

Dividir por ¼ é o mesmo que multiplicar por 4, que é a inversa de ¼.

Exemplo B:

Ex  b3.

3/4  / 1/8 = 3/4  x 8/1 = 24/4 = 6

Dividir por  1/8 é o mesmo que multiplicar por 8, que é a inversa de 1/8.

Observe que a divisão de frações consiste em multiplicar o numerador pelo inverso do denominador. 

EXERCÍCIOS 

1)    ESCREVA A INVERSA DAS FRAÇÕES:

a)     3/4
b)    6
c)     5/3
d)    2/15

2)    CALCULE:

a)     2/5  /  2/3
b)    2/4 / 6/5
c)     2/3 / 1/4
d)    2/7 / 1/5

3)    QUAL  DOS SEGUINTES NÚMEROS É O MAIOR ?

a)     1/3 + 1/2
b)    1/2 / 1/3
c)     1/3 x 1/2


RESPOSTAS DOS EXERCICIOS:

1)    a) 4/3 b) 1/6  c) 3/5 d) 15/2   2) a) 3/5 b) 5/12 c) 8/3 d) 10/7  3) a) 5/6  b) 3/2 c) 1/6 
( portanto,  b é a resposta correta )



legenda:

/ = divisão
+ = adição
- = subtração
x = multiplicação



sábado, 14 de fevereiro de 2015

números inteiros

Olá pessoal!

VAMOS FALAR UM POUCO SOBRE OS NÚMEROS INTEIROS

NÚMEROS INTEIROS

-Representamos os números inteiros pela letra Z.
( os números inteiros são números reais)

- Nas operações de adição, subtração  e multiplicação o resultado dessas operações entre dois números inteiros é um número inteiro ( dependendo de algumas divisões também obtemos um número inteiro).

Subconjuntos de Z
Z^* = Z {0}
Z+ = CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS POSITIVOS 
= { 0 ,1,2,3 ...}
Z _ =  CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS NEGATIVOS
= { ...-4,-3,-2,-1,0}

Referência
Fundamentos de matemática elementar : Conjuntos e funções, volume 1 , quinta edição , são Paulo, Editora ÁTICA , 2005.



valor absoluto e valor relativo

Olá pessoal !
Vamos falar um pouco sobre o  valor absoluto e o  valor relativo de um número.

VALOR ABSOLUTO E VALOR RELATIVO

VALOR  ABSOLUTO DE UM NÚMERO 

Sempre que usamos algarismos para escrever  os números , temos  um valor absoluto  e um valor  relativo  ( o valor relativo  também é chamado de valor posicional ).

Obs 1:

Chamamos de valor  absoluto  o próprio valor  do algarismo.

Veja:

Dado o número 1245
 o valor absoluto do algarismo 2 de 1245 é 2.

VAMOS VER ALGUNS EXEMPLOS:
1)    VALOR ABSOLUTO DE 14

- o valor absoluto de 1 é 1.
- o valor absoluto de 4 é 4.

2)    VALOR ABSOLUTO DE  425

- o valor absoluto de 4 é 4.
- o valor absoluto de 2 é 2.
- o valor absoluto de 5 é 5.

VALOR RELATIVO DE UM NÚMERO

O valor relativo ou valor posicional é o valor  que o algarismo  tem de acordo  com a posição que ocupa no numero.

Veja :

O  valor relativo do algarismo 2 em 321 é 20 (na casa da dezena)

VAMOS VER ALGUNS EXEMPLOS:

1)    O VALOR RELATIVO  DE 521

 5 = 500 ( centenas )
2 = 20 ( dezenas )
1 = 1 ( unidade )

2)    O VALOR  RELATIVO DE 33

3 = 30 ( dezenas )
3 = 3 ( unidade )

Obs : quando somamos os valores relativos de número, obtemos o mesmo número .

VEJA ALGUNS EXEMPLOS :

1)

a)     521 = 500 + 20 + 1
b)    33 = 30 + 3
c)     22 = 20 + 2
d)    55 = 50 + 5

Duvidas!

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