logaritmo

Conta ai

   logaritmos

Você já pensou ter que fazer cálculos do tipo 3,25694 * 1,78090 ou 3,25694 : 1,78090 no século XVI. Quanto tempo era necessário para fazer esses cálculos? Provavelmente era uma tarefa muito trabalhosa. Para tornar cálculos desse tipo menos trabalhosos, o escocês John Napier criou os logaritmos. No entanto, hoje em dia, com as calculadoras eletrônicas, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes não é difícil. Mais há cerca de 400 anos atras, multiplicar, dividir, calcular potências e extrair raízes eram tarefas difíceis, que eram feitas a partir de senos.

    

 Para compreender o que é logaritmo:

Através dos logaritmos, o cálculo das equações exponenciais foi extremamente facilitados, quando as bases não podiam ser facilmente igualadas.

    

     Exemplo:  

temos:

       10^x = 2

  “ Como achar o valor de x ?

    Tento igualar as bases! mais 2 elevado a quanto é igual a 10?

    -Não conseguimos fazer isso de forma direta, então o que nos resta é fazer por tentativas”.

   10^0,5  =  3, 1622 (aproximadamente 3,162, pois 3, 16... vezes ele mesmo é 10)

     “Não da”

   10^0,3 = 1, 9952 ( 0,3 é uma potência que se aproxima do 2; dessa forma iremos descobrir um expoente extremamente próximo de 2)

   10^0,3010  = 2

  foi difícil achar esse resultado? na minha opinião sim!

Por esse motivo e outros, surgiu os logaritmos (e algumas tabelas) para facilitar o cálculo de equações exponenciais com maior complexidade.

      

 Logaritmo é um número, perceba que esse número é um expoente.

   

 O logaritmo de base b, maior que zero e diferente de 1, é uma função de domínio e imagem, bijetora e contínua que retorna o expoente na equação bⁿ = x. Usualmente é escrito como Log_b x = n.

    definição:

 x e b são números reais positivos com b diferente de 1. Assim, chamamos de logaritmo de x na base b o expoente n tal quebⁿ = x.

      temos: Log_b x = n=> bⁿ = x

nomenclatura

Tabela 1

Forma logarítmica	Forma exponencial
Loga b = c   c – logaritmo a – base do logaritmo b – logaritmando	ac = b b – potência a – base da potência c- expoente

  Exemplo:

1)      Log₂ 4 = x  => 2^x = 4  => x =2

para achar o  valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

      Igualando as bases temos:

   2^x = 4  => 2^x =  2²

2)      Log₂ 16 = x  => 2^x = 16 => x = 4

Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

   Igualando as bases temos:

    

2^x = 16 => 2^x =  2⁴

3)      Log₂ 1 = x  =>2^x = 1 => x = 0

 Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

   Igualando as bases temos:

    

2^x = 1 => 2^x =  2⁰

                               4) Log_1\2 32 = x  => 1\2^x = 32 => x = -5

                                       

 Para achar o valor de x usamos as propriedades das equações exponenciais.

   Igualando as bases temos:

    

                                              (1\2)^x = 32=> (1\2)^x = (1\2)^-5  => x = -5

Propriedades operatórias dos logaritmos:

Primeira propriedade: Produto é igual a soma dos logaritmos.

       

    loga(bc) = loga b+logac

Segunda propriedade: quociente é igual a diferença dos logaritmos. 

   loga (b\c) = logab – logac

Terceira propriedade: potência é igual ao expoente vezes o logaritmo

     Logab = n.logab

quarta propriedade: raiz u-ésima de um número 

Loga n√m = 1\n Logam

  

 O sistema de logaritmos decimais (ou logaritmo de Briggs) e o sistema de  logaritmos naturais destacam-se pelo seu importante papel no campo das Ciências.

logaritmos decimais

O logaritmos de base 10 também são chamados de logaritmos de briggs, por ter sido inglês henry briggs (1561-1631) foi o primeiro a usar o número 10 para a construção de tábuas de logaritmos. 

     

  notação para os logaritmos decimais:

        log10b = logb

 log b = x, não é necessidade colocar a base 10. 

sistema de logaritmos naturais 

 são  os logaritmos na base e (e é um número irracional, cujo valor é  2,71828... que recebe o nome de número de Euler). 

      

       notação para os logaritmos naturais:

        

           logeb = lnb

uma relação importante

cologaritmo de um número 

 O cologaritmo de um número numa base dada é o oposto do logaritmo nessa mesma base.

cologax = - logax 

Referência:

MIORIM, M. A.; MIGUEL, A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Natal: SBHMat, 2002.

grandezas físicas e unidades

   
o sistema internacional de unidades 
     

        Com o crescimento do comércio e o avanço científico, tornou-se necessário um sistema único de unidades, que pudesse ser compreendido por todos. O Sistema Internacional de Unidades foi desenvolvido com o objetivo de unificar as grandezas utilizadas ao redor do mundo e facilitar a comparação de resultados obtidos em regiões diferentes. Durante um longo tempo, cada região, cada país, teve o seu próprio sistema de medidas. As quantidades eram medidas através de unidades pouco confiáveis.

    conta ai!

       

      O sistema métrico decimal teve origem na época da revolução francesa. Na data de 22 de julho de 1799. Na La Republique, em Paris, foram colocados no Archives o " metro e o " quilograma". Esse foi o passo para o inicio de um sistema de unidades com coerência que facilitou o  intercâmbio cientifico e o comercio entre os povos. Essa foi também uma maneira de confrontar os resultados de cientistas, em diferentes partes do mundo.

          O SI( do francês systéme international d'unités ) o sistema internacional de unidades é baseado no sistema métrico. O SI é um conjunto sistematizado e padronizado de definições para unidades de medida,o qual, usamos em quase todo o mundo moderno, que tende a uniformizar e facilitar as medições e as relações internacionais decorrentes. Em 1960 O SI foi desenvolvido derivado do antigo sistema metro-quilograma-segundo; não do sistema centímetro-grama-segundo, por ter algumas variações. Por não ser estático, o SI, as unidades são criadas e as definições são modificadas por meio de acordos internacionais entre as nações conforme a tecnologia de medição avança e a precisão das medições aumenta.

   

primeiros padrões

     Não pense que tudo sempre foi bonito e sem confusão. Civilizações antigas começam a padronizar as unidades de medidas já na Antiguidade. As medições não eram muito precisas. Ate atingir os padrões atuais muitos outros sistemas foram usados.  Por exemplo, o côvado egípcio, era uma medida de comprimento cujo padrão relacionava a distância entre o cotovelo e a ponta do dedo médio, o braço e o antebraço estando dobrados em ângulo reto e a mão esticada. uma passada representava a milha; a distancia dos passos. Vários povos antigos usavam o côvado como medida entre eles: os  Egípcios, hebreus e babilônicos.

        Amostra de pesos e medidas antigos:

    (alguns) pesos e medidas

gera	1/20 do siclo	0,57 gramas de prata
siclo	Unidade básica	11,4 gramas de prata
Libra de prata	50 ciclos	570 gramas de prata
talento		34 quilos

    

     (alguns) Medidas lineares

Palmo menor	Largura da mão	7,5 centímetros
palmo	Do polegar ao dedo	22,5 centímetros
côvado	Do cotovelo à ponta dos  dedos	45 centímetros
cana		cerca de 3 metros

Muitas dessas medidas eram baseadas em partes do corpo humano.

     o cúbito, pés e o palmo. o cúbito padronizado pelos sumérios era diferente do cúbito egípcio, e ambos diferiam do cúbito assírio. Observe:

Cúbito sumério = 49,5 cm
Cúbito egípcio = 52,4 cm
Cúbito assírio = 54,9 cm    
      As relações entre pés dizia que 10 pés romanos eram equivalentes a poucos menos que 9 pés do norte.

Pé romano = 29,6 cm
Pé comum = 31,7 cm
Pé do Norte = 33,6 cm

        o palmo. o palmo era utilizado pelos povos egípcios correspondia à sétima parte do cúbito. o palmo ainda é usado no dia a dia e medições rusticas. 
    Entretanto, o uso de partes do corpo fez surgir alguns problemas: As pessoas são diferentes e, portanto, as medidas serão diferentes. Como o comércio funcionaria de maneira justa? Como trocar mercadorias? Surge a necessidade de padronizar!

sistemas inglês e norte-americano

        falta! 

grandezas

       Grandeza é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas nos estudos da natureza (em sentido amplo). Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas. Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe um unidade padrão. Unidades de medidas  é um quantidade específica de uma determinada grandeza física e serve de padrão para comparações, as quais, usamos de padrão para outras medidas.

unidades

       

        Unidade de medida é uma medida (ou quantidade) específica de determinada grandeza física usada para servir de padrão para outras medidas. 

Grandezas físicas e unidades 

     
Sete grandezas e unidades básicas do si

               (tabela)1

grandezas	símbolos	unidades	símbolos	definição das unidades
comprimento		metro	m
Massa	m	quilograma	kg	1= a massa do protótipo internacional do quilograma
tempo	t	segundo	s	1 s é a duração de 9192631770 períodos da radiação da transição      entre 2 níveis..
intensidade de corrente	I	Ampère	A
temperatura	t	kelvin	K
Quantidade de matéria	n	mol (mole)	mol	a mol é a quantidade de matéria de um sistema contendo tantas entidades elementares quanto os átomos que existem em 0,012 kg de 12C (1971).
Intensidade luminosa	Iv	candela	cd

      Grandezas e unidades suplementares

     (tabela)2

Grandezas física	símbolos	unidades	símbolos	Definição das unidades
Ângulo plano		Radiano	rad	1 rad é o ângulo compreendido entre 2 raios que interceptam   Um arco do comprimento igual ao do raio do circulo.
Ângulo sólido		Esterradiano	sr	1sr é o ângulo sólido...

veja também

ordens de grandezas (grandezas física e unidades) parte 3

prefixos dos múltiplos e submúltiplos das unidades ( grandezas física e unidades) parte 4

equações exponenciais

   Equação exponencial 

Nas equações exponenciais as incógnita aparece uma ou mais vezes nos expoentes.Nosso objetivo - Encontrar os possíveis valores para a incógnita que fica no expoente. Raciocínio - Reduzir a equação à igualdade de potências de mesma base.

Leitura e escrita na matemática

 Leitura e escrita na matemática 

       A matemática requer, assim como qualquer outra disciplina, o ato da leitura.

  

A leitura, a interpretação e a escrita é sem duvidas importantes em qualquer aria do conhecimento. Quando fazemos o exercício da leitura, exercitamos o raciocínio e assim  ficamos mais abertos a quaisquer tipos de palavras e descobertas. Dessa maneira, incluímos palavras novas em nossos vocabulários. A importância da escrita não é muito diferente, pois o exercício da escrita, facilita o nosso aprendizado.

    As pessoas acostumadas a ler se tornam mais preparadas para os estudos e a vida em geral. a leitura muda o jeito de compreender o mudo que vivemos, o passado e o futuro das crianças. Através dos registros escritos descobrimos e aprendemos  sobre culturas, compreendemos a nossa história e hábitos de diferentes culturas, compreendemos o dia a dia, o sentido real das ideias, vivências e os nossos sonhos. As pessoas leem por prazer, para se informar e para estudar. Ler por prazer, é desenvolve a imaginação, enriquece o vocabulário e a atenção. A leitura descontraída é uma das formas de criar a vontade e o abito da leitura, seja, através de artigos, textos científico, livros didático e textos informativos. A leitura voltada para os estudos é mais ''pé da letra'' cobrada por pais e professores.

       

   A interpretação. A linguagem matemática pode ser representada através de símbolos, expressões e gráficos. A linguagem matemática pode ser lida em qualquer idioma, ao contrario de outras linguagens; entretanto exige a compreensão de símbolos e formulas. Em problemas são encontrados dois tipos de regras; a da gramatica e a da matemática, exemplo: Os alunos e os professores da 4º série farão uma excursão cultural. São 120 alunos e 5 professores, que irão em 5 ônibus alugado. Quantas pessoas deverão ir em cada ônibus, sabendo-se que em cada ônibus deve ir o mesmo número de pessoas. A interpretação matemática aplicada ao problema implica na divisão de 125 passageiros, para 5 ônibus, por outro lado a interpretação gramatical da sentido ao texto escrito.


 A leitura é um exercício que nos aguça a imaginação e os sentidos da língua. Na leitura você viaja, aprende a grafia correta da escrita, adquire entendimento do sentido das orações e aprende a interpretar melhor o que lê. Desenvolve o raciocínio lógico e passa a falar corretamente. Na matemática é essencial a discussão sobre o ato de ler e escrever, pois dessa forma criaremos a cultura de inclusão da leitura e escrita à matemática. Normalmente, quando é pedido a produção de textos  e a leitura para alunos de matemática (ou engenharia) há um espanto e negação como se fosse algo não cabível e sem dialogo, porem devemos ver a matemática como um tipo de linguagem, a qual produz sentido e interpretações, por esse motivo e indispensável ler e escrever quando estudamos matemática.