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sexta-feira, 14 de agosto de 2015

O MÉTODO DE COMPLETAR QUADRADOS: PROCESSO PRÁTICO




COMPLETANDO QUADRADOS

Veja um método prático de resolver equações do segundo grau sem sabermos a fórmula de Bhaskara, o método de completar quadrados.




COMPLETANDO QUADRADOS

    O método de al-Khowarizmi. O matemático al-Khowarimi desenvolveu um processo geométrico para a resolução de equações de segundo grau com uma incógnita.

   Figura 1. área de um quadrado como soma de áreas retângulos e quadrados menores.

Analisando a figura 1,  observamos que é uma representação geométrica da expressão (a+b) ² .

 Por essa representação geométrica, vemos que:

(a+b) ² = a² + 2ab + b²

Em que:

a² é a área do quadrado de lado a
2ab é a área de um retângulo de lado a e b
b² é a área do quadrado de lado b

obs: passo a passo da expressão (a+b) ².
(a+b) ² = a² + 2ab + b² =>
(a+b) ² = (a + b)(a + b) = a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²

( essa expressão de uso frequente no cálculo algébrico é chamado de produto notável, especificamente, quadrado da soma de dois termos.)
                    Obs: (a+b) ² é diferente de a² + b² ( pois a² + b² é somente uma parte de  (a+b) ²).

Exemplo 1:

Interpretando geometricamente a expressão
x² + 8x, complete o quadrado.



Figura 2a


Escrevemos:

x² + 8x = x² + 2(4x)
x² é a área de um quadrado de lado x
2(4x) 4x é a área de um retângulo de lados 4 e x
    Para completar o quadrado acrescentaremos o quadrado de lados 4

Figura 2b


Analisando a figura:

  Quando acrescentamos o quadrado de    lado 4, ou seja, de área 4², podemos  adicionar 4² à expressão x² + 8x,  obtendo x² + 8x + 4².  x² + 8x + 4² é um trinômio quadrado perfeito.

Dessa maneira podemos escrever:

Passo a passo

x² + 8x + 4² (expressão algébrica correspondente à área so quadrado formado) =   x² + 8x + 16 (trinômio quadrado perfeito)
(x+4)² ( forma fatorada do trinômio)
(x+4)² = (x + 4)(x+4) = x² + 4x + 4x + 4² = x² + 8x + 4²

Obs: x² + 8x é diferente de x² + 8x + 16

COMPLETANDO QUADRADOS

O processo de Al-Khowarimi:

·                   Resolver a equação x² + 8x + 15 = 0

Escrevendo:

Primeiro passo

 x² + 8x = x² + 2(4x)
é a área do quadrado de lados x
4x é a área de um retângulo cujos lados medem 4 e x

 Segundo passo Pela (figura 2b) foi necessário acrescentar o número 4², ou seja, 16 à expressão x² + 8x, para obter o quadrado.  
Geometricamente descoberto o valor que devemos acrescentar à expressão x² + 8x (que é 16)  manipularemos a expressão dada:

 Passo três

x² + 8x + 15 = 0
x² + 8x = -15 (principio aditivo)
x² + 8x + 16 = -15 +16 (princípio de equivalência das equações)

passo quatro

Ao acrescentarmos 16 à expressão x² + 8x no primeiro membro da equação e 16 ao segundo membro da equação, obteremos uma nova equação equivalente a anterior.

Passo cinco

x² + 8x + 16 = -15 +16 =
= x² + 8x + 16 = 1

fatorando o trinômio quadrado perfeito obtido no primeiro membro, temos a equação
(x + 4 )² = 1

 Dai que:

(x + 4 )² = 1
(x + 4) =
x + 4 = 1
x = -3

ou

(x + 4)  =
x + 4 = -1
x = -1 – 4
x = -5


os números reais -3 e -5 sãos as raízes da equação x² + 8x + 15 = 0.

por: Dan. S.

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