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segunda-feira, 24 de novembro de 2014

TIPOS DE FRAÇÕES

DEFINIÇÃO DE FRAÇÃO

 Como representa a quantidade referente ao número 1 dividido em 4 partes iguais?

-Através de uma fração!
 1/4

Geralmente n/m é a representação genérica do valor n dividido por m partes iguais, com b diferente 0

 Em todas as frações, o elemento superior é chamado de numerador e o elemento inferior é chamado denominador.
Dessa maneira concluímos que :

uma Fração é a maneira de se representar uma quantidade a partir de um valor, que é dividido por um determinado número de partes iguais.

Tipos de frações

FRAÇÃO PRÓPRIA  

O  que é?

Uma fração própria é menor que um inteiro, ou seja, o numerador é menor que o denominador.



Se dividirmos o inteiro  em 4 parte iguais

















pintando 3 partes teremos
















A fração que representa a parte pintada é 3/4( fração própria, pois é menor que um inteiro) e a fração que representa  a parte que não foi pintada é 1/4( fração própria, pois é menor que um inteiro).

Obs : frações próprias são menores que um inteiro.

Para observa se uma fração é própria, observamos o numerador e o denominador:
Assim,
n/m é uma fração, em que n<m( n é o numerador e m é o denominador).


FRAÇÃO IMPRÓPRIA

Fração imprópria é maior que um inteiro, ou seja, o numerador é maior que o denominador.

A fração 4/3 é uma fração imprópria, pois 4 é maior que 3.

Observe:

Repartimos um inteiro em três partes e consideramos 4. Dessa maneira 4>3 ( 4 é maior que 3) e temos que construir mais um inteiro igual ao outro e completar a fração. 

1 inteiro mais 1/3



















FRAÇÃO APARENTE


Uma fração aparente é uma forma  de fração imprópria, em que os numeradores são múltiplos dos denominadores, assim, ao dividirmos o numerador pelo denominador iremos obter um  inteiro.

Seja a fração 4/2 representando dois inteiros completos, temos 4/2 = 2
































A fração representa dois inteiros completos, pois 4 : 2 = 2, assim considerada aparente. Veja a sua representação: 




veja também:










segunda-feira, 17 de novembro de 2014

Grandeza/proporcionalidade entre grandezas




Grandeza

   A grandeza é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza (em sentido amplo). Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas. Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe um unidade padrão. Unidades de medidas  é um quantidade específica de uma determinada grandeza física e serve de padrão para comparações, as quais, usamos de padrão para outras medidas.

     Exemplos: o volume, a aria, o comprimento, o tempo, a capacidade, a massa são grandezas com unidades de medidas especificas.

Proporcionalidade entre as grandezas 
   
- Proporcionalidade é a relação entre as grandezas matemáticas.

  Os dois tipos de proporcionalidade entre grandezas são:

Grandezas diretamente proporcionais.

 - As grandezas aumentam ou diminuem proporcionalmente e simultânea. A consequência é que a razão entre as grandezas são constantes. Se, x, y e k são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando:
    
    x/a = y/b = k/c 
(a razão entre as grandezas são constantes)

Observe:

*RESERVATÓRIO DE ÓLEO 
TEMPO (mim)
DESLOCAMENTO DO ÓLEO (cm)
8
12
12
16
14
20
16
24
18
28

Observe o que acontece quando pegamos a razão entre um número da primeira coluna por sua correspondente na segunda coluna:

   8/12 = 2/3   12/18 = 2/3   16/24 = 2/3   20/30 = 2/3   
( todas as razões são iguais )

exemplos:
1)Verificar se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 12, 24 e 64.

            
     6/12 = 1/2 = 12/24 = 1/2 32/64 = 1/2

(sendo a razão 1/2,temos; 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais a 12,24 e 64)
                                                   
         2) verificar  se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 10, 24 e 64.

     6/10 = 3/5  12/24  = 1/2  32/64 = 1/2    
( nem todas são  proporcionais; pois a razão 6/10 = 3/5  é diferentes das outras duas razões )

Grandezas inversamente proporcionais.

- Quando a grandeza aumenta a outra diminui proporcionalmente. Consequentemente, o produto entre as duas grandezas são constantes.
   x, y e k são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, quando:   

  x*a=y*b=k*c  (o produto entre as grandezas são constantes)

observe:

*O DESLOCAMENTO DE UMA PESSOA
 VELOCIDADE ( m/s )
TEMPO ( s )
 4
60
8
30
12
20
16
15

observe o que acontece quando pegamos o produto de um número da primeira coluna pelo seu correspondente na segunda coluna:

a) 4*60 = 240 b) 8*30 = 240 c)12*20 = 240 d)16*15 = 240 
(todos os produtos são iguais)



1)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22.

110*4 =  440  40*11 =  440 20*22 = 440

( sendo o produto igual a 440, temos; 110, 40 e 20  inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22 )
   
 2)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 6, 11 e 22.

       110*6 = 660 40*11 = 440 20*22 = 440

  (110*6 =660 não é inversamente proporcional a 40*11= 440 e 20*22 = 440)


RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS



RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 

Estamos carecas de saber que a  trigonometria é uma das áreas mais importantes da Matemática.  A trigonometria é aplicada em diversos estudos:

EXEMPLOS:

 Física, Engenharia, Navegação Aérea e Marítima, Astronomia, Topografia, Cartografia, Agrimensura, etc.

RELAÇÕES FUNDAMENTAIS

As relações fundamentais em um triângulo são:

seno, cosseno e tangente.


- Como isso funciona ?

Dado o triangulo abaixo, temos as seguintes relações trigonométricas:

Considerando o ângulo alfa, temos:







Considerando o ângulo beta, temos:










  
observe:



















TABELA DE ÂNGULOS NOTÁVEIS

Por estarem presentes em diversas operações os ângulos de 30º, 45º e 60º são considerados notáveis. 

veja a tabela de ângulos notáveis abaixo:






















Para outros ângulos, os valores podem ser obtidos através   de uma calculadora científica ou através de uma tabela.

domingo, 16 de novembro de 2014

DERIVADA DA FUNÇÃO COSSENO/DEMONSTRAÇÃO


DERIVADA DA FUNÇÃO COSSENO/DEMONSTRAÇÃO



A analogia é a mesma para a função cosseno.





























A analogia é a mesma para a função cosseno.



            RELACIONADOS :
CLIQUE

veja a demonstração das  derivadas:

CLIQUE
COSECX

CLIQUE
COTGX

CLIQUE
SECX

CLIQUE
TGX

CLIQUE
SENX

CLIQUE
COSX

CLIQUE





sábado, 15 de novembro de 2014

Potenciação /expoente zero

Potenciação /expoente zero


  Usando potenciação e analisando a  propriedade do quociente (divisão)  entenderemos  a regra que diz que todo número elevado a zero é igual a um.

A potenciação é um caso específico de multiplicação, no qual todos os fatores são iguais:

Exemplos:

a)     10 X 10 X 10 X 10

b)    2 X 2 X 2 X 2

 A forma de facilita bastante a escrita dessa operação é colocar na parte superior do fato um expoente:

Exemplos:

a)      10 X 10 X 10 X 10 = 104

b)     2 X 2 X 2 X 2 = 24

Justificando que:
 Todo número diferente de zero elevado a zero é um.
  Usando a regra do quociente  entre potências de mesma base:
FIGURA 1















Sendo a (BASE)  diferente de 0
Obs: Não se define divisão por zero.
Qualquer número dividido por si mesmo é um( excluído o 0).
Obs: Isso não vale para o zero.
FIGURA 2















usando a regra do quociente chegamos na seguinte conclusão:
FIGURA 3















Dessa forma concluímos que:
  Todo número diferente de zero elevado a zero é um.
FIGURA 4




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