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sábado, 22 de agosto de 2015

Lei senos e dos cossenos



Lei dos Cossenos

A Lei dos Cossenos é uma das leis da Trigonometria. A trigonometria é a área da matemática que estuda as relações entre as medidas dos lados de um triângulo, formado por dois catetos, ou seja, dois lados, um oposto e o outro adjacente e uma hipotenusa, que é o lado oposto ao ângulo reto.

A Lei dos Cossenos mostra que: em qualquer triângulo, o quadrado de um dos lados corresponde à soma dos quadrados dos outros dois lados, menos o dobro do produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo entre eles.

Considere um triângulo ABC qualquer de lados a, b e c:






Observe que: O quadrado de um lado é igual à soma dos quadrados dos outros dois, menos duas vezes o produto desses dois lados pelo cosseno do ângulo formado por eles ( para qualquer triângulo).
Exemplos:

1)   Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x.





a² = b² + c² – 2 * b * c * cosalfa
6² = x² + 5² – 2 * 5 * x * cos60º
36 = x² + 25 – 10* x * 0,5
36 = x² + 25 – 5x
x² –5x +25 -36 = 0
x² –5x - 11 = 0

Observe que x² –5x - 11 = 0 é uma equação do segundo grau, então vamos usar o método resolutivo da equação do segundo grau.

x’ = 13,3 e x” = – 3,3, como se tratar de medidas descartamos x” = –3,3 e utilizamos x’ = 13,3. Dessa forma o valor de x no triângulo é 13,3 cm
obs: utilizei o método de de completar quadrados para encontrar as raízes da equação do segundo grau.

2)   um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 5cm, AC = 6cm e BC = 4cm. Determine a medida do ângulo A.



Usando a lei dos cossenos

Lembrando que:




a = 6, b =5 e c = 4

6² = 5² + 4² – 2 * 5 * 4 * cos A
36 = 25 + 16 – 40 * cos A
36 – 25 – 16 = –40 * cos A
–5 = –40 * cos A
-5/-40 = cos A (“ - com – na divisão é igual a +”)
cos A = 0,125


observação: O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,125 mede aproximadamente 83 graus ( 83 graus = 0,1219). 




Lei dos Senos


A Lei dos Senos, determina que em um triângulo, a relação do seno de um ângulo é sempre proporcional à medida do lado oposto a esse ângulo, ou seja, a Lei dos Senos demostra que num mesmo triângulo a razão entre o valor de um lado e o seno de seu ângulo oposto será sempre constante.
 Assim, para um triângulo ABC de lados a, b, c, a Lei dos Senos é representada pela seguinte fórmula:





Observação: quando o  triângulo não for retângulo, ou seja, com ângulo interno de 90º,  e  acutângulos , com ângulos menor que 90º ou obtusângulos , com ângulos maiores que 90º, devemos utilizar as Leis dos Senos e dos Cossenos.

Exemplo:

1)    Determine o valor de x no triângulo a seguir.






Observe que : sen120º = sen(180º – 120º) = sen60º = √3/2 ou 0,865

sen45º = √2/2 ou 0,705.



Por: Dan. S.

veja também :

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Princípio Fundamental da Contagem



Princípio Fundamental da Contagem

A grosso modo: O princípio fundamental da contagem nos passa a ideia de que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer.

Considere um evento composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal maneira que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, assim o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.

Veja isso em:

Combinação de elementos

Obs: Vamos usar o princípio fundamental da contagem.


Exemplos:


Exemplo 1:

Uma loja de bicicletas tem os seguintes modelos :

Primeiro modelo




 Este modelo esta disponível em 3 cores diferentes:

Azul, Amarelo, vermelho

Segundo modelo




Este modelo esta disponível em 2 cores diferentes:

Branco e verde

Terceiro modelo




Este modelo esta disponível em 4 cores diferentes:

Laranja, rosa, preta e cinza

PERGUNTO:

Usando as cores do primeiro, segundo e terceiro modelo, quantas  combinações de cores diferentes  podem ser feitas para um quarto modelo de bicicleta de 3 cores diferentes ?

Dados:

Primeiro modelo

3 tipos de cores diferentes

Segundo modelo

2 tipos de cores diferentes

Terceiro modelo

4 tipos de cores diferentes

OBS: A combinação para o novo modelo de bicicleta envolverá 3 cores diferentes.
 Assim para descobrir a quantidade de combinações possíveis basta multiplicar a quantidade de cores de cada modelo da seguinte maneira:


3 x 2 x 4 = 24 ( é possível fazer 24  combinações de  cores para o quarto modelo )
Obs: para descobrirmos o número de opções possíveis, devemos multiplicar as quantidades de cada item, como está demostrado acima.

Exemplo 2:

seja:

Primeiro modelo




Este modelo esta disponível em  cores diferentes:

verde, Amarelo, vermelho


Segundo modelo





Este modelo esta disponível em 3 cores diferentes:
 Branco, azul, roxo

Terceiro modelo



Este modelo esta disponível em 4 cores diferentes:

Laranja, rosa, preta e cinza

PERGUNTO:

Usando as cores do primeiro, segundo e terceiro modelo, quantas  combinações de cores diferentes  podem ser feitas para um quarto modelo de carro de 3 cores diferentes ?

Dados:

Primeiro modelo

3 tipos de cores diferentes

Segundo modelo

3 tipos de cores diferentes

Terceiro modelo

4 tipos de cores diferentes

OBS: A combinação para o novo modelo de carro envolverá 3 cores diferentes.

 Assim para descobrir a quantidade de combinações possíveis basta multiplicar a quantidade de cores de cada modelo da seguinte maneira:

3 x 3 x 4 = 36 ( é possível fazer 36  combinações de  cores para o quarto modelo )


Obs: para descobrirmos o número de opções possíveis, devemos multiplicar as quantidades de cada item, como está demostrado acima.

Por: Dan. S. 


veja também:

·        fatorial
permutacao

Fatorial





Fatorial


Na matemática o fatorial é uma ferramenta utilizada na análise combinatória, a qual,  determina  o produto dos antecessores de um número maior que 1.

Modelo matemático:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1

O produto n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1  é chamado de n fatorial e é indicado por  n! ( símbolo ).

Observação: n é o numero total de elementos e n tem que ser maior igual a dois.

Veja alguns exemplos:

2! = 2 x 1 = 2
3! = 3 x 2 x 1 = 6
4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720
7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5040
8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 362880

A utilização de fatorial é comum no cálculo de anagramas de uma palavra, veja:

Para refrescar a  cabeça: ANAGRAMAS

O que é Anagrama?

Anagrama é a construção de várias palavras a partir de uma primeira palavra, em que é alterada a sua ordem original trocando as letras de lugar. Na Matemática, através da permutação, é possível descobrir quantas combinações uma palavra pode ter.

Obs: Os anagramas estão diretamente ligados a análise combinatória e aos cálculos feitos para alcançar o número possível de trocas de letras.

Exemplos:

1)        Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.


2)        Determine o número de  anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

4!  =  4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )


Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24  ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.


Observe:  Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

por: Dan. S. 

veja também:

·        fatorial
permutacao

sexta-feira, 21 de agosto de 2015

FRASES DE CHARLES ROBERT DARWIN


11 frases/ CHARLES ROBERT DARWIN/ cientista

Nome: Charles Robert
Apelido: Darwin
                                  
Veja 11 das belas frases de CHARLES ROBERT DARWIN:

1 “O homem, em sua arrogância, pensa de si mesmo como uma grande obra, merecedora da intervenção de uma divindade.”


2 “Não gostamos que os animais, a quem tornamos nossos escravos, sejam considerados nossos iguais.”

3 “Me transformei num tipo de máquina de observar fatos e formular conclusões.”


4 “A história se repete. Esse é um dos horrores da História.”

5 “A atenção é a mais importante de todas as faculdades para o desenvolvimento da inteligência humana.”

6 “Não sobrevive a espécie mais forte, mas a que se adapta à mudança.”

7 “A sobrevivência de um organismo depende da sobrevivência de um outro.”

8 “Não vejo razão alguma para que as opiniões desenvolvidas neste volume firam o sentimento religioso de quem quer que seja.”

9 “Não é o mais forte que sobrevive, nem o mais inteligente, mas o que melhor se adapta às mudanças.”

10  “Conseguimos realizar os nossos propósitos, economizando os minutos.”

11 “Para ser um bom observador é preciso ser um bom teórico.”


Fonte: Biografia (Charles Robert Darwin)


 Charles Robert Darwin foi um naturalista britânico que alcançou fama ao convencer a comunidade científica da ocorrência da evolução e propor uma teoria para explicar como ela se dá por meio da seleção natural e sexual. Esta teoria se desenvolveu no que é agora considerado o paradigma central para explicação de diversos fenômenos na Biologia.

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