Princípio Fundamental da Contagem

Princípio Fundamental da Contagem

A grosso modo: O princípio fundamental da contagem nos passa a ideia de que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer.

Considere um evento composto por n etapas sucessivas e independentes, de tal maneira que as possibilidades da primeira etapa é m e as possibilidades da segunda etapa é n, assim o número total de possibilidades de o evento ocorrer é dado pelo produto m*n.

Veja isso em:

Combinação de elementos

Obs: Vamos usar o princípio fundamental da contagem.

Exemplos:

Exemplo 1:

Uma loja de bicicletas tem os seguintes modelos :

Primeiro modelo

 Este modelo esta disponível em 3 cores diferentes:

Azul, Amarelo, vermelho

Segundo modelo

Este modelo esta disponível em 2 cores diferentes:

Branco e verde

Terceiro modelo

Este modelo esta disponível em 4 cores diferentes:

Laranja, rosa, preta e cinza

PERGUNTO:

Usando as cores do primeiro, segundo e terceiro modelo, quantas  combinações de cores diferentes  podem ser feitas para um quarto modelo de bicicleta de 3 cores diferentes ?

Dados:

Primeiro modelo

3 tipos de cores diferentes

Segundo modelo

2 tipos de cores diferentes

Terceiro modelo

4 tipos de cores diferentes

OBS: A combinação para o novo modelo de bicicleta envolverá 3 cores diferentes.

 Assim para descobrir a quantidade de combinações possíveis basta multiplicar a quantidade de cores de cada modelo da seguinte maneira:

3 x 2 x 4 = 24 ( é possível fazer 24  combinações de  cores para o quarto modelo )

Obs: para descobrirmos o número de opções possíveis, devemos multiplicar as quantidades de cada item, como está demostrado acima.

Exemplo 2:

seja:

Primeiro modelo

Este modelo esta disponível em  cores diferentes:

verde, Amarelo, vermelho

Segundo modelo

Este modelo esta disponível em 3 cores diferentes:

 Branco, azul, roxo

Terceiro modelo

Este modelo esta disponível em 4 cores diferentes:

Laranja, rosa, preta e cinza

PERGUNTO:

Usando as cores do primeiro, segundo e terceiro modelo, quantas  combinações de cores diferentes  podem ser feitas para um quarto modelo de carro de 3 cores diferentes ?

Dados:

Primeiro modelo

3 tipos de cores diferentes

Segundo modelo

3 tipos de cores diferentes

Terceiro modelo

4 tipos de cores diferentes

OBS: A combinação para o novo modelo de carro envolverá 3 cores diferentes.

 Assim para descobrir a quantidade de combinações possíveis basta multiplicar a quantidade de cores de cada modelo da seguinte maneira:

3 x 3 x 4 = 36 ( é possível fazer 36  combinações de  cores para o quarto modelo )

Obs: para descobrirmos o número de opções possíveis, devemos multiplicar as quantidades de cada item, como está demostrado acima.

Por: Dan. S. 

veja também:

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permutacao

Fatorial

Fatorial

Na matemática o fatorial é uma ferramenta utilizada na análise combinatória, a qual,  determina  o produto dos antecessores de um número maior que 1.

Modelo matemático:

n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1

O produto n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3) * ...* 3 * 2 * 1  é chamado de n fatorial e é indicado por  n! ( símbolo ).

Observação: n é o numero total de elementos e n tem que ser maior igual a dois.

Veja alguns exemplos:

2! = 2 x 1 = 2

3! = 3 x 2 x 1 = 6

4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24

5! = 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 120

6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720

7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5040

8! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320

9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 362880

A utilização de fatorial é comum no cálculo de anagramas de uma palavra, veja:

Para refrescar a  cabeça: ANAGRAMAS

O que é Anagrama?

Anagrama é a construção de várias palavras a partir de uma primeira palavra, em que é alterada a sua ordem original trocando as letras de lugar. Na Matemática, através da permutação, é possível descobrir quantas combinações uma palavra pode ter.

Obs: Os anagramas estão diretamente ligados a análise combinatória e aos cálculos feitos para alcançar o número possível de trocas de letras.

Exemplos:

1)        Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

2)        Determine o número de  anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

4!  =  4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24  ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.

Observe:  Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

por: Dan. S. 

veja também:

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permutacao

FRASES DE CHARLES ROBERT DARWIN

11 frases/ CHARLES ROBERT DARWIN/ cientista

Nome: Charles Robert

Apelido: Darwin

                                  

Veja 11 das belas frases de CHARLES ROBERT DARWIN:

1 “O homem, em sua arrogância, pensa de si mesmo como uma grande obra, merecedora da intervenção de uma divindade.”

2 “Não gostamos que os animais, a quem tornamos nossos escravos, sejam considerados nossos iguais.”

3 “Me transformei num tipo de máquina de observar fatos e formular conclusões.”

4 “A história se repete. Esse é um dos horrores da História.”

5 “A atenção é a mais importante de todas as faculdades para o desenvolvimento da inteligência humana.”

6 “Não sobrevive a espécie mais forte, mas a que se adapta à mudança.”

7 “A sobrevivência de um organismo depende da sobrevivência de um outro.”

8 “Não vejo razão alguma para que as opiniões desenvolvidas neste volume firam o sentimento religioso de quem quer que seja.”

9 “Não é o mais forte que sobrevive, nem o mais inteligente, mas o que melhor se adapta às mudanças.”

10  “Conseguimos realizar os nossos propósitos, economizando os minutos.”

11 “Para ser um bom observador é preciso ser um bom teórico.”

Fonte: Biografia (Charles Robert Darwin)

 Charles Robert Darwin foi um naturalista britânico que alcançou fama ao convencer a comunidade científica da ocorrência da evolução e propor uma teoria para explicar como ela se dá por meio da seleção natural e sexual. Esta teoria se desenvolveu no que é agora considerado o paradigma central para explicação de diversos fenômenos na Biologia.

Grandeza

Grandeza

   A grandeza é o conceito que descreve qualitativa e quantitativamente as relações entre as propriedades observadas no estudo da natureza (em sentido amplo). Grandeza é tudo aquilo que envolve medidas. Medir é comparar uma quantidade de uma grandeza qualquer com outra quantidade da mesma grandeza que se escolhe um unidade padrão. Unidades de medidas  é um quantidade específica de uma determinada grandeza física e serve de padrão para comparações, as quais, usamos de padrão para outras medidas.

     Exemplos: o volume, a aria, o comprimento, o tempo, a capacidade, a massa são grandezas com unidades de medidas especificas.

Proporcionalidade entre as grandezas 

   

- Proporcionalidade é a relação entre as grandezas matemáticas.

  Os dois tipos de proporcionalidade entre grandezas são:

Grandezas diretamente proporcionais.

 - As grandezas aumentam ou diminuem proporcionalmente e simultânea. A consequência é que a razão entre as grandezas são constantes. Se, x, y e k são diretamente proporcionais aos números racionais a, b e c quando:

    
    x/a = y/b = k/c 
(a razão entre as grandezas são constantes)

Observe:

*RESERVATÓRIO DE ÓLEO 

TEMPO (mim)	DESLOCAMENTO DO ÓLEO (cm)
8	12
12	16
14	20
16	24
18	28

Observe o que acontece quando pegamos a razão entre um número da primeira coluna por sua correspondente na segunda coluna:

   8/12 = 2/3   12/18 = 2/3   16/24 = 2/3   20/30 = 2/3   
( todas as razões são iguais )

exemplos:

1)Verificar se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 12, 24 e 64.

            

     6/12 = 1/2 = 12/24 = 1/2 32/64 = 1/2

(sendo a razão 1/2,temos; 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais a 12,24 e 64)

                                                   

         2) verificar  se 6, 12 e 32 são diretamente proporcionais aos números 10, 24 e 64.

     6/10 = 3/5  12/24  = 1/2  32/64 = 1/2    
( nem todas são  proporcionais; pois a razão 6/10 = 3/5  é diferentes das outras duas razões )

Grandezas inversamente proporcionais.

- Quando a grandeza aumenta a outra diminui proporcionalmente. Consequentemente, o produto entre as duas grandezas são constantes.

   x, y e k são inversamente proporcionais aos números racionais a, b e c, quando:   

  x*a=y*b=k*c  (o produto entre as grandezas são constantes)

observe:

*O DESLOCAMENTO DE UMA PESSOA

VELOCIDADE ( m/s )	TEMPO ( s )
4	60
8	30
12	20
16	15

observe o que acontece quando pegamos o produto de um número da primeira coluna pelo seu correspondente na segunda coluna:

a) 4*60 = 240 b) 8*30 = 240 c)12*20 = 240 d)16*15 = 240 
(todos os produtos são iguais)

1)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22.

110*4 =  440  40*11 =  440 20*22 = 440

( sendo o produto igual a 440, temos; 110, 40 e 20  inversamente proporcionais aos números 4, 11 e 22 )

   

 2)verificando se 110, 40 e 20 são inversamente proporcionais aos números 6, 11 e 22.

       110*6 = 660 40*11 = 440 20*22 = 440

  (110*6 =660 não é inversamente proporcional a 40*11= 440 e 20*22 = 440)


por: Dan. S.                                                                                           

veja também:

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permutacao

Permutação

Permutação

Em agrupamentos que podem ser formados por  um certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento e outro seja apenas pela mudança de posição entre seus elementos, recebe o nome de permutação simples. Em outras palavras, permutação é uma das formas de se combinar os elementos de um determinado grupo.

Por exemplo:

As permutações simples dos elementos de 1,2,3 são:

123, 132, 213, 231, 312, 321

Vamos calcular algumas permutações através de fatorial.

Definição de fatorial:

n! = n.(n – 1). (n – 2). (n – 3)...3.2.1

Exemplos:

1)    Determine o número de anagramas da palavra LIVRO.

Observe que a palavra LIVRO tem 5 elementos distintos.

Assim:

5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

2)    Determine o número de  anagramas da palavra AMOR.

Observe que a palavra AMOR tem 4 elementos distintos.

Assim:

4!  =  4 . 3 . 2 . 1 = 24 ( 24 anagramas )

Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24  ( 24 anagramas ou possibilidade)

Veja alguns anagramas:

ROMA, AMRO, MARO, etc.

Observe:  Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição.

3)Quantos anagramas podemos formar a partir da palavra ORDEM?

Observe que a palavra ORDEM possui 5 letras distintas.

Assim:

5!  = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 ( 120 anagramas )

Pois, para a primeira posição podemos colocar 5 letras, para a segunda 4, para a terceira 3, para a quarta 2 e para a quinta 1.

Quando houver repetição de letras

Se houver repetição de letras, devemos dividir o resultado pelo fatorial da quantidade de letras repetidas:

Por exemplo:

CANOA

A palavra CANOA tem 5 letras, entretanto, 2 letras são iguais.

5! = 5.4.3.2.1 = 120

Devemos fazer:

120/ 2! = 60 anagramas para CANOA.

por: Dan. S.