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sexta-feira, 24 de julho de 2015

árias de figuras planas





Ária do losango

O Losango é uma figura plana que esta na categoria dos quadriláteros ( Polígonos que possuem 4 lados, 4 vértice e 4 ângulos são chamados de quadriláteros).

O quadrilátero ABCD é um losango, cujas dimensões diagonais medem D e d ( D e d representa as diagonais).
Observe o losango abaixo:




A ária desse losango e dada pela seguinte equação      
   

Onde :
A = ária do losango
D = diagonal maior
d = diagonal menor
obs:  O paralelogramo e o losango possui as mesmas características. Com essa informação podemos deduzir que o cálculo da área do paralelogramo pode ser utilizado no cálculo da área do losango.
 Isso porque:


O losango é formado por dois triângulos idênticos, com base igual a d  e altura igual a D / 2.


Onde:

D = diagonal maior
d = diagonal menor

Sabendo que a figura acima forma dois triângulos e que a ária desses triângulos é dada respectivamente pela equação,


A = d . D
         2 
         2 

vamos desenvolver a seguinte operação A losango = Atri1 + Atri2:




Ária do círculo

Irei apresentar abaixo a maneira geral de calculara a ária do círculo, veja:

Obs: A área do círculo é diretamente proporcional ao raio, que é a distância entre o 
centro e a borda do circulo.





Onde :

A = aria  círculo
Pi =  é aproximadamente  3, 14 ( é uma constante)
r = raio

Exemplo:

Seja o circulo




A ária é igual a:
(Usando a formula) A = pi.r^2 = 3,14.(5cm)^2 = 78,5 cm^2 ( ^ significa elevado )

Obs: usamos como unidade de medida cm.



Ária do cone

Calcular a ária de uma figura espacial consiste no cálculo de toda a aria da superfície desta figura.

Antes de aprendermos a realizar o cálculo da ária do cone vamos aprender um pouco sobre os elementos de um cone.

Elementos de um cone

Os elementos que podem ser identificados em um cone são:

CONE



   VérticeO vértice do cone acima é o ponto E, onde ocorre os segmentos de retas.

   Geratriz: A geratriz do cone é qualquer segmento que tenha um ponto  no vértice do cone e o outro na curva que envolve a base.

     Altura: A altura do cone é a distância do vértice  ao plano da base.

     Superfície lateral: A superfície lateral de um cone é a união de todos os segmentos de reta que tem uma ponto em E e a outra na curva que envolve a base.

     Superfície do cone: A superfície do cone  é a união da superfície lateral com a base do cone que é o círculo.

     Eixo: O eixo do cone é o segmento de reta que passa pelo vértice E e pelo centro da base.

       Seção meridiana: A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção do cone com um plano.

      Base: A base de um cone é a região plana contida no interior da curva.   

Veja a separação dos elementos do cone:

Cone




Cone planificado

Foi preciso separar as partes  do cone para podermos calcular a ária através da figuras planificadas.
Primeiro: vamos calcular a ária da base



Área da base

Como a base é um circulo, vamos usar a equação do circulo.

 Veja a formula para a ária da base:
A = pi.r^2  ( onde: pi vale aproximadamente 3, 14..., r é o raio e ^ significa elevado )


Área lateral

Através da planificação do cone vamos calcular a ária lateral.

Veja:

na planificação  do cone temos:

r =  raio
g = geratriz
2pir = perímetro da base do cone

Através desses dados podemos fazer:

Obs: É necessário calcular  o setor circular, para isso é preciso utilizar uma regra de três simples.


veja:



Relacionando todos esses dados, obtemos:
Dados:
A = pi.r^2  (área da base)
A = pi.r.g ( ária lateral)
Ária total do cone

A(total) = A(base) + A(lateral)
= pi.r^2  + pi.r.g = pi.r ( g + r)

Finalmente a ária total é:
A (total) = pi.r ( g + r)

Onde :

pi é aproximadamente 3, 14, r é o raio, g é a geratriz



Exemplo:
Usando a equação para a aria total do cone

A (total) = pi.r ( g + r)

Seja um cone de g = 10  e r = 6


A (total) = pi.r ( g + r) = 3, 14 x 6 ( 10 + 6 ) = 18,84 ( 10 + 6 ) =

188,4 + 113,04 = 301,44 ( supondo que a unidade de medida seja o cm, temos 301,44 cm^2 )

Ária do triângulo

Uma das aplicações do triângulo. A forma triangular das estruturas metálicas  chamadas de  “Treliça” servem para aumentar a rigidez , não perderem a forma quando submetidas ao estresse  e evitar que se tenha uma estrutura pesada e como consequência as  estruturas desse  tipo  são extremamente fortes e capazes de suportar uma grande quantidade de força, sem alterar a forma ou causar ruptura.

Veja alguns exemplos:






Existe mais aplicações da forma triangular, entretanto o que nos interessa aqui é aprender como calcular a aria de um triângulo.

Aria do triângulo
Definição de Área: Área é a quantidade de espaço de uma superfície.
Considere:




Onde:
A = área
b = base
h = altura

Formula para calcular a ária do triângulo


Exemplos de calculo de área:

1:

Seja o triângulo



 





2)

Seja o triângulo

 









Obs: Usamos cm como unidade de medida.



Área da região circular     


primeiro
: O que é Geometria Plana ?

A geometria plana ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga.

A geometria plana  é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume, Esse estudo analisa   as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. O ponto era considerado um elemento que não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido através da disposição de retas.  A geometria plana  também é chamada de euclidiana  porque representa uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, isso porque ele é considerado o “pai da geometria”.   


A palavra  geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida);  assim, obtemos:  "medida de terra".

Segundo: Depois dessa introdução vamos usar  as propriedades da geometria plana para  determina a área da região circular .


A circunferência

Geralmente as pessoas confundem circunferência com círculo, entretanto, existe diferença entre o círculo e a circunferência.

Observe :

A parte interna da circunferência é o circulo e a circunferência é a linha que limita o círculo.





Obs 1: No caso da circunferência, o raio ( o raio é a distância entre o centro da circunferência até a borda ) é fundamental para o cálculo da ária.


Observe:






     A área de uma região circular é calculada pela equaçãoA = pi x r^2 
^2 = elevado a 2 ) em que r é a medida do raio e pi uma letra grega de valor fixo “igual” a 3,14( aproximado).

Vamos ver um exemplo pratico do calculo da ária circular:

Seja a região circular com raio de 30cm, a  ária da região circular e dada pela equação
A = pi x r^2 ( ^2 = elevado a 2 ). Veja:




A = pi x r^2 = 3,14 x (30cm)^2 = 2.826 cm^2

 
 

Obs: cm^2  é unidade de medida de ária 



Área do paralelogramo


primeiro
: O que é Geometria Plana ?

A geometria plana ou Euclidiana, teve início na Grécia antiga.

A geometria plana  é a parte da matemática que estuda as figuras que não possuem volume, Esse estudo analisa   as diferentes formas de objetos, e baseia-se em três conceitos básicos: ponto, reta e plano. O ponto era considerado um elemento que não tinha definição plausível, a reta era definida como uma sequência infinita de pontos e o plano definido através da disposição de retas.  A geometria plana  também é chamada de euclidiana  porque representa uma homenagem ao geômetra Euclides de Alexandria, isso porque ele é considerado o “pai da geometria”.   


A palavra  geometria é a união das palavras “geo” (terra) e “metria” (medida);  assim, obtemos:  "medida de terra".

SegundoDepois dessa introdução vamos usar  as propriedades da geometria plana para  determina a área de um paralelogramo.

Veja: Antes de aprender como calcular a área de um paralelogramo e útil saber sobre os tipos de paralelogramos.

Tipos de paralelogramos:






obs: Todo quadrilátero que possui os lados oposto paralelos é chamado de paralelogramo. Através dessa informação podemos dizer que o quadrado, o retângulo e o losango são paralelogramos.




Este é um paralelogramo

onde: A = área, b = base e h = altura


 Conhecendo a base e a altura do paralelogramo é possível calcular a aria.


Exemplo pratico do uso da fórmula acima:

*Calcule a área do paralelogramo abaixo:



Usando a fórmula fica:
A = base x altura = 22cm x 18 cm = 396 cm^2 ( ^ = elevado )

A = 396 cm^2


Obs: cm^2  é unidade de medida de ária 


por: Dan. S.

Perímetro de um Polígono



Perímetro de um Polígono


Perímetro de um polígono é a soma das medidas dos seus lados.

Perímetro do Quadrado


Para calcular o perímetro de uma figura geométrica plana quadrada( com quatro lados) usamos a formula abaixo:

P = L + L + L + L (L =  medida dos lados da figura )
Obs: basta somar as medidas dos lados.

Podemos também calcular o perímetro de uma figura quadrada através da seguinte formula  P = 4 x L (L =  medida do lado do quadrado), isso, porque se trata de um figura geométrica em que as medidas dos quatro lados são iguais.


Exemplo:

Seja o quadrado de lado igual a 20cm abaixo




Usando a formula  P = L + L + L + L , obtemos:

P = 20cm + 20cm + 20cm + 20cm = 80cm




Ou usando a formula P = 4 x L, obtemos:


P = 4x20cm = 80cm


Perímetro de pentágono Regular


O pentágono é um figura geométrica Com 5 Lados Iguais.

Para calcular o perímetro do  pentágono  ( figura geométrica plana com dez lados iguais) vamos usar a formula abaixo:

 Obs: basta somar as medidas dos lados aplicando a  fórmula
P = L + L + L + L + L  (L= medida dos lados da figura geométrica)

Outra maneira de calcular o perímetro do pentágono é através da formula
 P = 5x L (L =medida do lado do pentágono)

Obs: Como se trata de uma figura geométrica onde as medidas dos dez lados são iguais, foi possível montar essa equação.

Exemplo:

Seja o pentágono de lado igual a 10, obtemos:

 

 Usando P = L + L + L + L + L , obtemos:

P = 10cm + 10cm + 10cm + 10cm + 10cm = 50 cm




Ou usando a equação  P = 5x L, obtemos:



P = 5x10cm = 50cm


Perímetro de Decágono Regular.

O decágonos é um figura geométrica Com 10 Lados Iguais.

Para calcular o perímetro do  decágono  ( figura geométrica plana com dez lados iguais) vamos usar a formula abaixo:

 Obs: basta somar as medidas dos lados aplicando a  fórmula

P = L + L + L + L + L + L + L + L + L + L (L= medida dos lados da figura geométrica)

Outra maneira de calcular o perímetro do decágono é através da formula
 P = 10 x L (L =medida do lado do decágono)

Obs: Como se trata de uma figura geométrica onde as medidas dos dez lados são iguais, foi possível montar essa equação.

Exemplo:

Seja o decágono de lado igual a 11cm 



Usando P = L + L + L + L + L + L + L + L + L + L, obtemos:
P = 11cm + 11cm + 11cm + 11cm + 11cm + 11cm + 11cm + 11cm + 11cm + 11cm = 110 cm

Ou usando a equação  P = 10 x L, obtemos:


P = 10x11cm = 110cm





Perímetro de Triângulo Isósceles










Obs: Os  triângulos isósceles  possuem dois lados com a mesma medida e um lado com medida diferente.

o perímetro desta figura geométrica pode ser calculado através da seguinte fórmula matemática:

P = a + b + c 

podemos calcular esse perímetro também através da  seguinte fórmula:
P = 2 x L + B (L é a medida de um dos lados iguais e B é  a medida da base.)

Exemplo:

Triângulo Isósceles 1










Lado A: 123 cm - Lado B: 86 cm - Lado C: 123 cm

Usando a formula P = a + b + c, obtemos:

P = a + b + c = 123cm + 86cm + 123cm =332 cm


Atividade 

Encontre o perímetro do triângulo isósceles:

Triângulo Isósceles 2












Lado A: 63 cm - Lado B: 69 cm - Lado C: 63 cm

Obs: Use P = a + b + c

Perímetro de triangulo escaleno




Os Triângulos Escalenos tem três lados com medidas diferentes.

Para calcular o perímetro desta figura geométrica vamos usar a  fórmula matemática abaixo:

P = a + b + c

Como calcular o Perímetro de Triângulo Escaleno?

Exemplo:

Triangulo escaleno 1










A = 5cm
B = 7cm
C = 9cm

Usando a formula P = a + b + c, obtemos:

P = A + B + C =  5cm + 7cm + 9cm = 21cm

Agora faça a atividade abaixo:

Encontre o perímetro do triângulo escaleno.


Triângulo Escaleno 2







Lado A: 10 cm
 Lado B: 12 cm
 Lado C: 24 cm


Obs: Use a formula P = A + B + C


R: 

Perímetro de Triângulo Equilátero






O triângulo equilátero é uma figura geométrica Com 3 Lados Iguais.

Instruções:

Para calcular o perímetro de uma figura geométrica plana com três lados iguais, somamos as medidas dos lados e aplicamos a seguinte fórmula:

P = L + L + L (L é a medida de um dos lados da figura)

Obs: Também  podemos calcular o perímetro da figura plana através da seguinte

formula:

P = 3 x L ( L é a medida  de um dos lados  triângulo)

Exemplo:

Vamos calcular o  perímetro dos seguintes  triângulos equiláteros

Triângulo Equilátero 1:  


                                                                       










  8cm de lado

Vamos usar a formula  P = L + L + L para calcular esse perímetro.

Fica :

P = L + L + L  = 8cm + 8cm + 8cm = 24cm

Triângulo Equilátero 2:












15 cm de lado

Vamos usar a formula  P = L + L + L para calcular esse perímetro.

Fica :

P = L + L + L  = 15cm + 15cm + 15cm = 45cm

Atividades:

Calcule

Triângulo Equilátero 3:













34 cm de lado

Use P = L + L + L para calcular esse perímetro.
R:


Triângulo Equilátero 4:








26 cm de lado

Use P = L + L + L para calcular esse perímetro.

R:




por: Dan. S.

Comprimento



Comprimento



São instrumentos para medir comprimento:

Paquímetro
Micrômetro
Trena
Compasso
Etc.

Quando precisamos medir a largura ou altura, de uma pessoa, de uma cadeira, de uma mesa, a distância de uma cidade em relação a outra, etc, utilizamos as medidas de comprimento.

Há medidas de comprimento grandes ( muito grande) e pequenas (muito pequena). O instrumento mais utilizado para medir no dia a dia é o metro, entretanto, quando temos medidas muito pequenas ou muito grandes utilizamos outros instrumentos de medidas de acordo com a extensão que queremos medir.

Exemplos de medidas maiores que o metro:

O decâmetro (dam)
O hectômetro (hm)
O quilômetro (km)

obs: São múltiplos do metro.

Exemplos de medidas menores que o metro:


O decímetro (dm)
O centímetro (cm)
O milímetro (mm)



OBS: São submúltiplos do metro.

Veja a tabelinha abaixo:




Veja uma tabelinha mais completa dos múltiplos e submúltiplos do metro:

Múltiplos do metro:

yottametro (Ym)
 10^24 metros
zettametro (Zm)
 10^21 metros
exametro (Em)
 10^18 metros
petametro (Pm)
 10^15 metros
terametro (Tm)
 10^12 metros
gigametro (Gm)
 10^9 metros
megametro (Mm)
 10^6 metros
quilômetro (km)
 10^3 metros
hectômetro (hm)
 10^2 metros
decâmetro (dam)
 10 metros

Submúltiplos do metro:

decímetro (dm)
 10^-1 metros
centímetro (cm)
 10^-2 metros
milímetro (mm)
 10^-3 metros
micrômetro (µm)
 10^-6 metros
nanômetro (nm)
 10^-9 metros
picômetro (pm)
 10^-12 metros
femtômetro (fm)
 10^-15 metros
attômetro (am)
 10^-18 metros
zeptômetro (zm)
 10^-21 metros
yoctômetro (ym)
 10^-24 metros

onde: ^ significa elevado.
o
Obs: O metro é unidade básica do sistema internacional de unidades.

consulta: www.lami.ufba.br/paginas/instrumentos_de_medir_comprimento.html

por: Dan. S.

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